unendlich viele Primzahlzwillinge?

Question

Ohne einen Beweis zu haben, behaupte ich, dass es zu jedem Primzahlzwillingspaar (m-1,m+1) eine natürliche Zahl k>1 gibt, so dass (k*m-1,k*m+1) ebenfalls ein Primzahlzwillingspaar ist.

Meine Frage lautet: Gibt es Nachforschungen in dieser Richtung? Kann ich mich mit jemand darüber austauschen?

Comments

Nachforschungen gibt es bestimmt einige, aber keinen Beweis. Die Behauptung ist ja sogar noch stärker, als die Behauptung, es gäbe unendlich viele Primzahlzwillinge.

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Wie sollte man so etwas beweisen?

Es gibt ja auch keine eindeutige Formel, mit der man für n gg. unendlich Primzahlen erzeugen kann, oder?

Man kann die Anzahl der Primzahlen in bestimmten Bereichen nur abschätzen.

https://de.wikipedia.org/wiki/Primzahl#Absch%C3%A4tzungen_zu_Primzahlen_und_Folgerungen_aus_dem_Primzahlsatz

Answer 1

Das Problem wird in dieser Diplomarbeit ausführlich behandelt (Kapitel 2.1, ab Seite 19)

http://dmg.tuwien.ac.at/drmota/DiplomarbeitKoeck.pdf

Answer 2

Vielleicht hilft dir diese Tabelle von Primzahlzwillingen weiter?

n (6n-1) (6n+1)
1 5 7
2 11 13
3 17 19
5 29 31
7 41 43
10 59 61
12 71 73
17 101 103
18 107 109
23 137 139
25 149 151
30 179 181
32 191 193
33 197 199
38 227 229
40 239 241
45 269 271
47 281 283
52 311 313
58 347 349
70 419 421
72 431 433
77 461 463
87 521 523
95 569 571
100 599 601
103 617 619
107 641 643
110 659 661
135 809 811
137 821 823
138 827 829
143 857 859
147 881 883
170 1019 1021
172 1031 1033
175 1049 1051
177 1061 1063
182 1091 1093
192 1151 1153
205 1229 1231
213 1277 1279
215 1289 1291
217 1301 1303
220 1319 1321
238 1427 1429
242 1451 1453
247 1481 1483
248 1487 1489
268 1607 1609
270 1619 1621
278 1667 1669
283 1697 1699
287 1721 1723
298 1787 1789
312 1871 1873
313 1877 1879
322 1931 1933
325 1949 1951
333 1997 1999
338 2027 2029
347 2081 2083
348 2087 2089
352 2111 2113
355 2129 2131
357 2141 2143
373 2237 2239
378 2267 2269
385 2309 2311
390 2339 2341
397 2381 2383
425 2549 2551

Quelle: https://mathepedia.de/Tabelle.html

Comments

Ja, das ist eine - und zwar http://oeis.org/A002822 -

von über 100 von mir genannten Zahlenfolgen, die mit Prime Twins eng verflochten sind.

Answer 3

Laut Wiki gibt es noch keinen 100% Beweis für unendlich viele Primzahlzwillinge:

https://de.wikipedia.org/wiki/Primzahlzwilling#Offene_Fragestellung

Unter http://www.gerdlamprecht.de/Primzahlen.htm

findet man eine eindeutige Formel für Prime(x), also die x. Primzahl. Es ist jedoch keine explizite Formel die man leicht umstellen kann, sondern ein Algorithmus aus 3 Untersummen mit Abrundungsfunktion floor(x).

Die Tatsache, dass die Lücken zwischen 2 Primzahlen bei x gegen unendlich auch unendlich werden können, sagt noch nichts über die Anzahl aus! Denn es gibt ja auch definitiv unendlich viele Primzahlen! Dieses "Unendlich" ist ja nur theoretische Grenzwertbestimmung und hat in der Praxis die Bedeutung "Unendlich wird NIE erreicht!"

Man kann auch Näherungsformeln für das nächste zu erwartende Primzahlpaar aufstellen und bis jetzt wurde noch kein Hinweis darauf gefunden, warum PLÖTZLICH - so aus dem NICHTS heraus - diese zig Folgen, die alle mit

Primzahlzwillingen zusammengehören:

http://oeis.org/search?q=Prime+twins&sort=&language=english&go=Search

plötzlich enden sollen.

Rolands Beispiel http://oeis.org/A002822 ist eine davon. (von über 100)

Das wäre eine gewaltige Sensation, wenn hier eine Obergrenze plötzlich so viele Zahlenfolgen zum STOPPEN bringen würde! Wo soll die herkommen?

Zahlenfolgen mit Obergrenzen haben meist ganz andere Eigenschaften:

- Obergrenzen sind relativ klein

- dort werden oft "Ziffernbetrachtungen" angestelt, die zu den "Stringfunktionen" und nicht zu normalen mathematischen Funktionen gehören.