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Aufgabe:

Das Paar (p,p+2) heißt Primzahlzwilling, falls sowohl p∈N als auch p+2∈N Primzahlen sind.
Zeigen Sie:
- Ist (p,p+2) ein Primzahlzwilling und p>3 , dann ist [p]6=[5]6 und [p+2]6=[1]6 .
-Bestimmt man die einstellige Quersumme Q(a)  einer Zahl a=∑ (oben n) (unten k=0) ak × 10^k , dann gilt: [Q(a)]9=[a]9 . Dabei ist die einstellige Quersumme die wiederholte Anwendung der Quersumme bis eine einstellige Zahl entsteht. Z.B. ist Q(12345)=Q(1+2+3+4+5)=Q(15)=Q(1+5)=Q(6)=6.
-Ist (p,p+2) ein Primzahlzwilling und p>3 , dann gilt Q(p⋅(p+2))=8 .


Problem/Ansatz:

Hi, ich hoffe man versteht die Aufgabe, sie ist etwas schwierig zu schreiben. Vielleicht könnt ihr mir hier weiterhelfen. Ich weiß nicht, wie man sie lösen kann. Danke schonmal :)

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Ist mit [a]b der Rest gemeint, den a beim Teilen durch b lässt? Das würde mod(a,b) geschrieben.

3 Antworten

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Seien \(p,p+2\) Primzahlen \(>3\), dann sind sie zu 6 teilerfremd,

also entweder \(\equiv 1\) oder \(\equiv 5\) mod \(6\).

Damit folgt \(p\equiv 5\) und \(p+2\equiv 5+2=7\equiv 1\) mod \(6\).

Für die Restklassen gilt also \([p]_6=[5]_6\) und \([p+2]_6=[1]_6\).

Zur zweiten Aussage:

Rechne mod 9 und mache dir klar, dass \(10^k=(1+9)^k\equiv 1^k=1\) mod \(9\) ist.

Zur dritten Aussage:

Wir haben \(p=5+6a,\; p+2=7+6a\) mit ganzer Zahl \(a\), daher

\(p(p+2)=35+9(8a+4a^2)\equiv 3+5=8\) mod 9.

Avatar von 29 k

Hi, erstmal vielen Dank :)

Beim 2ten habe ich das mit dem Rest 1 verstanden und deswegen bleibt dann ja bei a×10^k a übrig oder?

Aber das ist noch kein Beweis oder und wie könnte ich den machen.

Danke schonmal

Obwohl das 2te habe ich jetzt glaube ich verstanden, nur beim dritten komm ich nicht weiter, woher kommt die 6a und woher weiß man, dass es modulo 9 ist?

Wenn \(p\equiv 5\) mod \(6\) ist, dann bedeutet das,

dass \(p-5\) ein Vielfaches von \(6\) ist. Daher muss es eine ganze Zahl

\(a\) geben mit \(p-5=6a\), also \(p=5+6a\).

Dass man schließlich modulo 9 rechnet, liegt daran, dass

die Quersumme ja gerade der Rest modulo 9 ist. Das ist ja in der

Aufgabe auch gesagt worden: Die Quersummenrechnerei ist

"in Wirklichkeit" eine Rechnerei modulo 9.

Ahh okay dankee, jetzt macht das sinn :)

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(a) Der Rest wird in der Menge \( \{0,1,2,3,4,5\} \) enthalten sein. Weiterhin gilt, dass die Reste von \( p \) und \( p+2 \) sich um 2 unterscheiden werden (in der Restklasse). Also können wir jetzt all solche Paare betrachten und überprüfen, ob es möglich ist.
\( (0,2) \) Ist schonmal ausgeschlossen, da sonst \( 6 \mid p \). (1,3) geht auch nicht, da
\( p+2 \equiv_{6} 3 \Longrightarrow p+2=6 k+3=2 \cdot 3 k+3=3(3 k+1), \quad k \in \mathbb{Z} \)
der Tatsache widerspricht, dass \( p+2 \) eine Primzahl ist. Selbiges argument ergibt sich mit dem Paar \( (2,4) \)
\( p \equiv_{6} 2 \Longrightarrow p=6 k+2=3 \cdot 2 k+2=3(2 k+1), \quad k \in \mathbb{Z} . \)
Da aber irgendein Rest existieren muss, schliessen wir, dass es das Paar \( (5,1) \) sein muss.
(b) Sei also \( a \in \mathbb{Z} \) beliebig. Mit der Dezimalexpansion ergibt sich
\(\begin{aligned} R_{9}(a)=R_{9}\left(\sum \limits_{i=0}^{n} a_{i} 10^{i}\right)=R_{9}\left(\sum \limits_{i=0}^{n} a_{i} R_{9}(10)^{i}\right)=R_{9}\left(\sum \limits_{i=0}^{n} a_{i}\right), \quad a_{i} \in\{0, \ldots, 9\} .\end{aligned} \)
Ist nun
\(\begin{aligned} \sum \limits_{i=0}^{n} a_{i}=b=\sum \limits_{i=0}^{m} b_{i} 10^{i}, \quad b_{i} \in\{0, \ldots, 9\}\end{aligned} \)
so gilt wiederrum
\(\begin{aligned} R_{9}(b)=R_{9}\left(\sum \limits_{i=0}^{m} b_{i} 10^{i}\right)=R_{9}\left(\sum \limits_{i=0}^{m} b_{i}\right) .\end{aligned} \)
Dieser Prozess kann also nun iteriert werden, bis die Quersumme \( <9 \) ist.
(c) Wegen (b) müssen wir also lediglich \( R_{9}(p(p+2) \) ) bestimmen. Nun kannst du eine Untersuchung wie in (a) führen, und die Resultate von (a) auch verwenden um zu zeigen, dass gewisse Paare nicht Funktionieren. Es wird sich herausstellen, dass lediglich die Paare \( (2,4) \) und \( (5,7) \) in Frage kommen würden. Nun ist aber
\( R_{9}(2 \cdot 4)=8=R_{9}(5 \cdot 7) \)
womit die Aussage folgt.

Avatar von 4,8 k

Hi auch dir erstmal danke, nur leider versteh ich das noch nicht so ganz.

Was ist zb Dezimalexpansion?

Dezimalexpansion von 123 ist z.B. 1 * 100 + 2 * 10 + 3, also du schreibst die Zahl als Summe von Potenzen von 10.

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Hallo

1. einfacher geschrieben: Primzahlzwillinge haben die Form 6n-1 (statt 6m+5) , 6n+1

denn 6n±2 und 6n±3 sind ja durch 2 bzw 3 teilbar , mit 6n, 6n±1,6n±2,6n±3 kann man aber all Genzen Zahlen beschreiben. Wenn also ein Primzahlzwilling existiert, muss es 6n-1 und 6n-1+2=6n+1 sein denn 6n+1 und 6n+1+2=6n+3 könnn nicht beide prim sein

2. 10^n lasst bei division durch 9 immer den Rest 1 a*10^n also den Rest a

damit mach weiter,

Gruß lul

Avatar von 108 k 🚀

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