(a) Der Rest wird in der Menge \( \{0,1,2,3,4,5\} \) enthalten sein. Weiterhin gilt, dass die Reste von \( p \) und \( p+2 \) sich um 2 unterscheiden werden (in der Restklasse). Also können wir jetzt all solche Paare betrachten und überprüfen, ob es möglich ist.
\( (0,2) \) Ist schonmal ausgeschlossen, da sonst \( 6 \mid p \). (1,3) geht auch nicht, da
\( p+2 \equiv_{6} 3 \Longrightarrow p+2=6 k+3=2 \cdot 3 k+3=3(3 k+1), \quad k \in \mathbb{Z} \)
der Tatsache widerspricht, dass \( p+2 \) eine Primzahl ist. Selbiges argument ergibt sich mit dem Paar \( (2,4) \)
\( p \equiv_{6} 2 \Longrightarrow p=6 k+2=3 \cdot 2 k+2=3(2 k+1), \quad k \in \mathbb{Z} . \)
Da aber irgendein Rest existieren muss, schliessen wir, dass es das Paar \( (5,1) \) sein muss.
(b) Sei also \( a \in \mathbb{Z} \) beliebig. Mit der Dezimalexpansion ergibt sich
\(\begin{aligned} R_{9}(a)=R_{9}\left(\sum \limits_{i=0}^{n} a_{i} 10^{i}\right)=R_{9}\left(\sum \limits_{i=0}^{n} a_{i} R_{9}(10)^{i}\right)=R_{9}\left(\sum \limits_{i=0}^{n} a_{i}\right), \quad a_{i} \in\{0, \ldots, 9\} .\end{aligned} \)
Ist nun
\(\begin{aligned} \sum \limits_{i=0}^{n} a_{i}=b=\sum \limits_{i=0}^{m} b_{i} 10^{i}, \quad b_{i} \in\{0, \ldots, 9\}\end{aligned} \)
so gilt wiederrum
\(\begin{aligned} R_{9}(b)=R_{9}\left(\sum \limits_{i=0}^{m} b_{i} 10^{i}\right)=R_{9}\left(\sum \limits_{i=0}^{m} b_{i}\right) .\end{aligned} \)
Dieser Prozess kann also nun iteriert werden, bis die Quersumme \( <9 \) ist.
(c) Wegen (b) müssen wir also lediglich \( R_{9}(p(p+2) \) ) bestimmen. Nun kannst du eine Untersuchung wie in (a) führen, und die Resultate von (a) auch verwenden um zu zeigen, dass gewisse Paare nicht Funktionieren. Es wird sich herausstellen, dass lediglich die Paare \( (2,4) \) und \( (5,7) \) in Frage kommen würden. Nun ist aber
\( R_{9}(2 \cdot 4)=8=R_{9}(5 \cdot 7) \)
womit die Aussage folgt.
