Untersuchen Sie die Folgen auf Beschränktheit

Question

Seien \(\{x_n\}\) und \(\{y_n\}\) durch

\(\quad \displaystyle x_n := \log \left( \frac{1}{n}\right) \quad \)  beziehungsweise  \(\quad \displaystyle y_n := \frac{1+n}{n^2-n+10}\)

definiert. Untersuchen Sie die Folgen auf Monotonie, Beschränkheit und Konvergenz. Wenn eine Folge konvergiert, zeigen Sie dies mittels der Definition der Konvergenz.

Monotonie habe ich gezeigt. Bei der Beschränkheit kriege ich Probleme.

Bein \(x_n\) untersuche ich die Grenzwert n->unendlich und das ist minus unendlich,( wenn die Zahlen sind, dann ist die Folge beschränkt oder?) Bei der Grenze n->minus unendlich bekomme ich plus unendlich, aber online rechner sagt dass es minus unendlich ist. Wie rechnet die Grenzewerte explizit?

Bei \(y_n\) mache ich das gleiche und bekomme 0 in beiden Fällen. Was bedeuted dass. Ist \(y_n\) beschränkt. Und wenn meine Weise falsch ist, wie soll ich denn zeigen ob \(y_n\) beschränkt ist oder nicht?

Comments

wenn die Zahlen sind, dann ist die Folge beschränkt oder?

Der Satz ergibt keinen Sinn.

Answer 1

Bein xn untersuche ich die Grenzwert n->unendlich und das ist minus unendlich

Das ist richtig.

Bei der Grenze n->minus unendlich bekomme ich plus unendlich

Es ist eine Folge. Das heißt, der Definitionsbereich ist ℕ. Grenzwert für n → -∞ ergibt also keinen Sinn.

Wie rechnet die Grenzewerte explizit?

Mit der Definition lim_{n → ∞} x_n = -∞ ⇔ ∀r∈ℝ ∃N∈ℕ ∀n > N : x_n < r.

Sei dazu r∈ℝ. Du musst ein passendes N∈ℕ finden, so dass x_n < r für alle n > N ist.

Mit anderen Worten, es soll log(1/n) < r sein.

Also muss 1/n < e^r sein. Dass ist der Fall, wenn n > 1/e^r ist (e muss ggfls. durch die tatsächliche Basis von log ausgetauscht werden).

Bei y_n mache ich das gleiche ...

Ja, das ist die Aufgabenstellung.

und bekomme 0 in beiden Fällen.

Richtig, aber gleiches Problem wie oben.

Ist y_n beschränkt.

Ja. Weil der Grenzwert 0 ist (und es sich um eine Folge handelt), gibt es nur endlich viele Stellen, an denen der Wert außerhalb des Intervalls [-1; 1] liegt.

Answer 2

Eine Folge a_n heisst beschränkt, wenn es eine Untergrenze u und eine Obergrenze o gibt, sodass für alle n € N gilt

u <= a_n <= o

Die Grenzen u und o sind Teil der Definitionsmenge der Folge.

Die Folge a_n=log(1/n) ist nicht beschränkt, weil a_n weder eine Unterschranke noch eine Oberschranke aufweist.

Die Folge an=(n+1)(n^2-n+10)

- ist für n >=3 monton fallend mit Grenzwert 0

- weist bei n=2 und n=3 das Maximum 0.25 auf.

Diese Folge ist also beschränkt, denn 0 <= a_n <= 1 für alle n € N