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Aufgabe:

untersuchen sie die folgenden folgen auf monotonie und beschränktheit. Begründen Sie mit den jeweiligen Definition 

an = 1/3 + 1/2n n∈ℕ

bn = n^3 -2n^2

cn = (n+2)/(n+1)

Folgendes angenommen:

Beschränktheit an = -1/2 _< n also untere Schranke

bn ist bn ist divergent


Problem/Ansatz:

Also beim berechnen sind Flüchtigkeitsfehler auf gekommen Beispiel bei an image.jpg

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Beste Antwort



wie Marceline schon gesagt hat ist an monoton fallend.
Beweis:
für alle n ∈ IN gilt: an > an+1


\( \frac{1}{3} \) + \( \frac{1}{2n} \) > \( \frac{1}{3} \) + \( \frac{1}{2(n+1)} \)


⇔ \( \frac{1}{3} \) + \( \frac{1}{2n} \) > \( \frac{1}{3} \) + \( \frac{1}{2n+2} \)      | -\( \frac{1}{3} \)


⇔ \( \frac{1}{2n} \) > \( \frac{1}{2n+2} \)


Gruß Hetzerich

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Guten Tacho,

der Beweis für die Beschränktheit würde dann so aussehen:

nach unten beschränkt
es gilt: an ≥ \( \frac{1}{3} \) für alle n ∈ IN

nach oben beschränkt
es gilt an ≤ \( \frac{5}{6} \) für alle n ∈ IN

MfG Der Baron

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Kind, schreib dir doch einfach auf was die Folgen machen ;)

1 /3 + 1/2^n . Je größer n wird, desto eher nährt sich die Folge an 0,333333. n konvergiert also gegen 0,333333

Die Folge ist monoton fallend, denn sie wird immer kleiner und nähert sich an 0,333333 (bloß sieht man die letzten Nachkommastellen nicht mehr, wenn man es im TR eingibt, weil es so minimale Unterschiede sind).

Die Folge ist nach unten beschränkt, denn sie geht nie unter 0,3333

Sie ist nach oben beschränkt, weil sie nie größer als 0,8333 wird.

bn)  Die Folge bn wird für steigende n immer gröpßer. Sie ist monoton wachsend.

Sie ist nach unten beschränkt, denn wenn du die kleinste natürliche Zahl, also die 1 (oder im Hetterich-Universum die 0) einsetzt, wird der Wert der Folge nie kleiner als -1.

cn) So, die Folge nähert sich immrr mehr der 1. Konvergiert also gegen 1.

Sie ist nach oben beschränkt, weil egal welchen Wert du einsetzt, es kommt nie eine Zahl größer als 5 raus.

Sie ist nach unten beschränkt, weil egl welchen Wert du einsetzt, es kommt nei eine Zahl kleiner als 1,0000000 raus.

Bei an) und cn) bin ich mir nicht sicher, ob man bei einer Annhäherung zu einem Wert von Konvergenz oder Divergenz spricht. Im Skriptum heißt es "Folgen, die nicht konvergieren lassen sich in zwei Klassen unterteilen. Dabei wachsen/fallen die einen über/unter jeden erdenklichen Wert und unter/überschreiten diesen ab einem betimmten Index nicht mehr. Die Folgen divergieren bestimmt" ....ist das nicht dasselbe wie konvergent?

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Hallo

was du da rechnen verstehe ich nicht.

1. Beschränkt? an = -1/2 _< n das verstehe ich gar nicht. und <n ist nicht beschränkt.

2. an-an+1>0  zu zeigen  wenn an steigend ist wie hier

aber du hast ja gar nicht an+1 da hingeschrieben statt 2*(n+1) schreibst du 3n?

warum schickst du ne Rechnung. wo du selbst sagst da sind Fehler drin? dass an-an+1=0 sicher falsch ist kannst du mit jedem beliebigen n sofort sehen.

Also was genau willst du wissen?

Folge c ist leichter zu sehen wenn man durch n kürzt. sie ist fallend.

Avatar von 108 k 🚀

Oh ja ich habe ich mich verrechnet

an - an+1 = 1/3 + 1/2*n - 1/3 + 1/2*n+1

1. Damit wollte ich fragen, ob der Ansatz dieser Berechnung die Monotonie herausfinde, ob es sich um eine fallende oder steigende ist?

2. Wie berechne ich die Beschränktheit?

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