Flugkurve eines Fußballs beim Freistoß durch eine Gleichung beschreiben (Parabel)

Question

In einem Fußballspiel erhält eine Mannschaft 22m vor dem Tor einen direkten Freistoß zugesprochen.

8 m vom Freistoßpunkt hat der Ball eine Höhe von 2,0m, nach 22m hat der Ball eine Höhe von 2,2m. Der Ball beschreibt eine nach unten offene Parabel.

Frage: wie bestimme ich die Gleichung der Flugkurve? Wie bestimme ich den Scheitelpunkt/maximale Höhe?

Answer 1

Der Freistoß wird im Koordinatenursprung ausgeführt. Das Tor befindet sich also bei x = 22

f(x) = ax^2 + bx + c

f(0) = 0
c = 0

f(8) = 2
64·a + 8·b + c = 2

f(22) = 2.2
484·a + 22·b + c = 2.2

Wir setzen zunächst c = 0 ein und erhalten

64·a + 8·b = 2
484·a + 22·b = 2.2

11*I - 4*II

-1232a = 13.2
a = -3/280

64·(-3/280) + 8·b = 2
b = 47/140

Die Funktion lautet

f(x) = -3/280*x^2 + 47/140*x

Skizze

Comments

Wir suchen den Scheitelpunkt von 

f(x) = -3/280*x^2 + 47/140*x

Sx = -b / (2a) = -47/140 / (2*(-3/280)) = 47/3 = 15.67

Sy = f(47/3) = 2209/840 = 2.63

Der Ball erreicht nach 15.67 m seine höchste Höhe von 2.63 m.