Grenzwert mit Logarithmus Naturalis: lim (1 + ln(2)/n)^n = ? für n gegen unendlich

Question

ich soll den Grenzwert einer Folge bestimmen und haben leider überhaupt keinen Ansatz wie ich vorgehen soll, vermutlich kann man mit e den ln auflösen, aber wie kann ich bei dieser Aufgabe nicht sagen.

$$(1-\frac{ln2}{n})^n$$

Julian

Answer 1

Es gilt:

lim (1+a/n)^n = e^a für n gg. +oo

Setze: a= -ln2

--> lim = e^{-ln2} = e^{ln1/2} = 1/2

-ln2 = ln2^{-1}= ln1/2

Answer 2

Mit dem Wurzelkriterium:$$\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left(1-\frac{\ln (2)}{n}\right)^{n}}=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1-\frac{\ln (2)}{n}\right)=1$$

Comments

Dein Ergebnis stimmt nicht. Ich kann deinen Ansatz nicht nachvollziehen.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=lim(1-ln2%2Fn)%5En

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Oh mein Gott, habe irgendwas mit Konvergenz gelesen! :D

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Naja, falls dich interessiert:

Die Reihe \(\sum_{n=0}^{\infty}{\left(1-\frac{\ln(2)}{n}\right)}^n\) divergiert nach dem Wurzelkriterium!

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Das Wurzelkriterium liefert hier keine Aussage.

Aber lim n---> ∞ (1-ln(2)/n)^n =1/2 ≠0

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Mensch jc!

Guck mal bei meinem Rechenweg.

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Mein Kommentar bezieht sich nicht auf deine Rechnung in der Antwort , sondern auf die Stelle

Die Reihe ... divergiert nach dem Wurzelkriterium!

Wenn beim Wurzelkriterium 1 als Ergebnis rauskommt kannst du keine Aussage über Konvergenz/Divergenz treffen. Da musst du andere Verfahren zurate ziehen.

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Ist \(\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}≥1\)  für fast alle \(k∈ℕ\), dann divergiert die Reihe

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a5/Entscheidungsbaum_f%C3%BCr_das_Wurzelkriterium.svg

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Es ist aber (1-ln(2)/k)< 1 für alle k ∈ ℕ .

(Was auch immer, Schwamm drüber ;) )

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Kann es sein, dass hier versucht wurde, von der Divergenz der Reihe auf die Divergenz der Folge zu schließen? Wo ist da der tiefere Sinn?

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Noch schwamm ich da nicht drüber:

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Kann es sein, dass hier versucht wurde, von der Divergenz der Reihe auf die Divergenz der Folge zu schließen? Wo ist da der tiefere Sinn?

Es gibt keinen. Ich hatte nicht genau gelesen.

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Racine , es hat keinen Sinn weiter darüber zu diskutieren,  offensichtlich hast du meinen letzten Kommentar nicht verstanden.

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Du hast das "Vergleichszeichen" falsch gesetzt in deinem vorletzten Kommentar

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Nein, das habe ich nicht.

ln(2)>0

ln(2)/k>0

-ln(2)/k<0

1-ln(2)/k<1

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HAHAHA, UPS. 1:0 für dich