Ringschlussverfahren für das Beweisen sinnvoll?

Question

Ich stehe vor folgendem Problem.

$$ \text{Es seien }X\text{ sowie }Y\text{ Mengen und }\varphi:X\rightarrow Y\text{ eine Abbildung. Zeige:}\\\text{Es gibt eine Menge }Z,\text{ eine surjektive Abbildung }\pi:X\rightarrow Z\text{ und eine injektive Abbildung}\\\iota:Z\rightarrow Y\text{ mit }\varphi=\iota\circ \pi.  $$

Wie könnte/sollte man das noch beweisen? Ich habe es mit dem Ringschlussverfahren probiert. Also ich fange an Z als Menge vorauszusetzen und schließe damit auf den zweiten genannten Punkt im Satz, die Surjektivität von π, usw...

$$ \text{Beweis. Seien }X\text{ sowie }Y\text{ Mengen und }\varphi:X\rightarrow Y\text{ eine Abbildung.}\\\text{Sei }Z:=\varphi(X)\subseteq Y\text{ eine Menge und sei }\pi:X\rightarrow Z\text{ eine Abbildung. Dann gibt es für alle }z\in Z\text{ ein } x\in X\text{, sodass die Gleichung }z=\pi(x)\text{ erfüllt ist,d.h., }\pi:X\rightarrow Z\text{ ist eine surjektive Abbildung.}\\\text{Sei }\pi:X\rightarrow Z\text{ eine surjektive Abbildung. Dann gibt es für alle }z\in Z\text{ ein } x\in X\text{, sodass die Gleichung }\\z=\pi(x)\text{ gilt. Es muss gezeigt werden, dass für alle }y\in Y\text{höchstens ein Urbild unter}\\ \text{der Abbildung }\iota \text{ existiert. Wegen }Z=\varphi(X)\subseteq Y\text{ ist es offensichtlich, dass für jedes }y\in Y\\\text{nur höchstens ein } z\in Z \text{ gibt und damit Injektivität vorliegt.} $$

Allerdings komme ich hier nicht weiter. Außerdem muss auch noch $$ \varphi=\iota\circ \pi $$ für den Punkt 3 zeigen.

Answer 1

Du musst doch die Existenz dreier Dinge zeigen:

Es gibt

- eine Menge Z

- eine surjektive Abb. π: X --> Z

- eine Injektive Abb. i: Z --> Y

und es gilt φ=ioπ.

Du hattest wohl schon die richtige Idee, es aber - so meine ich -

nicht ganz auf den Punkt formuliert.

Ich würde es so machen:

Sei Z=φ(X). Das ist jedenfalls eine Menge und die

Abbildung π würde ich definieren durch π(x)=φ(x) für alle x ∈ X.

Diese ist surjektiv, da für alle z∈Z , also  z∈φ(X) nach der

Definition von φ(X) ein  x ∈ X existiert mit   φ(x) = z.

Definiere dann die Abbildung i durch id_Z, also i(z)=z für

alle z∈Z. Diese ist Injektiv, denn wenn für z1∈Z und z2 ∈Z

gilt i(z1)=i(z2) dann heißt das nach Def. von i ja   z1=z2.

Und weil Z⊆Y gilt, ist i eine Abbildung von Z nach Y.

Zum Nachweis von φ=ioπ ist zu zeigen: Für alle x∈X

gilt φ(x) =(ioπ)(x). Dem ist so, weil

(ioπ)(x) = i( π(x) ) = i( φ(x) ) [nach Def. von π]

     =  φ(x)   [nach Def. von π]  .

Comments

Das mit der Identität ist schon echt clever gemacht. Ich hatte witzigerweise bei meinem Ansatz auch ein wenig den Verdacht gehabt, dass i eine Identitätsabbildung sein könnte, als ich versucht habe φ=ioπ zu zeigen. Ich war mir aber irgendwie doch nicht sicher und hab mich dann auch in meinem Wirrwarr verloren.^^