0 Daumen
1,1k Aufrufe

hallo meine aufgabe lautet:

lim x gegen unendlich für : (x^3-2)/(e^{2x}) ich bin der meinung, dass unendlich / 0 rauskommt (unendlich^3= unendlich , unendlich -2 = noch immer unendlich) und e^irgendwas ist immer 0.

 nur welcher fall ist das dann ? lhospital ist es ja nicht und durch 0 darf ich ja nicht teilen...


vielen dank ich hoffe man kann mir helfen. ;)

Avatar von

2 Antworten

+1 Daumen

e^{irgendwas} ist immer 0.

Nein, für "irgendwas" gegen unendlich geht das gegen unendlich

und zwar schneller als das x^3.

Kannst auch 2 mal Hospital anwenden, dann siehst du es

auch.  Der Grenzwert ist 0.

Avatar von 289 k 🚀
+1 Daumen

da dich beim Limes hier die Werte für sehr große x interessieren, um zu sehen, was passiert, kannst du auch eine Abschätzung vornehmen. Das geht aber nur, wenn du schon die Reihenentwicklung der e-Funktion kennst, die für alle x∈ℝ gegen e^x konvergiert. Sie lautet

$$ e^x=\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{k!}\cdot x^k $$ und für die im Nenner dann

$$ e^{2\cdot x}=\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}\cdot (2\cdot x)^k $$

Es reicht sogar bei dieser Summe dann nur bis n=4 zu gehen, denn dann hast du ein Polynom 4:Grades, was schneller als x^3-2 wächst. $$ e^{2\cdot x}=\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}\cdot (2\cdot x)^k\geq 1+2\cdot x+2\cdot x^2+\frac{4}{3}\cdot x^3+\frac{2}{3}\cdot x^4 $$ Insgesamt hast du also:

$$ \lim_{x\to \infty}\frac{x^3-2}{e^{2\cdot x}}\stackrel{große \ x}{\leq} \lim_{x\to \infty}\frac{x^3-2}{1+2\cdot x+2\cdot x^2+\frac{4}{3}\cdot x^3+\frac{2}{3}\cdot x^4}\\=\lim_{x\to \infty}\frac{\frac{x^3}{x^4}-\frac{2}{x^4}}{\frac{1}{x^4}+\frac{2\cdot x}{x^4}+\frac{2\cdot x^2}{x^4}+\frac{4}{3}\cdot \frac{x^3}{x^4}+\frac{2}{3}\cdot \frac{x^4}{x^4}}\\=\lim_{x\to \infty}\frac{\frac{1}{x}-\frac{2}{x^4}}{\frac{1}{x^4}+\frac{2}{x^3}+\frac{2}{x^2}+\frac{4}{3}\cdot \frac{1}{x}+\frac{2}{3}}=0.$$

Avatar von 15 k

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community