Eine exponentielle Funktion sieht allgemein so aus $$ f(x)=a\cdot b^x .$$
a ist der Anfangswert bei x=0 und b der Wachstumsfaktor.
So. Nun weiß man ja schon, was a ist (siehe Tabelle) und b auch. Dann hat man also:
$$ f(x)=1\cdot 2^x=2^x $$ als Lösung.
Man kann es auch anders lösen, da es gut sein kann, dass man den Wert für x=0 nicht vorliegen hat. Ich nehme mir also Werte aus der Tabelle und arbeite mit der allgemeinen Funktion, um a und b zu berechnen. Das mache ich in Form von Punkten:
A(2/4) und B(6/64)
Für A ist x=2 und y=f(2)=4. Dann hat man also
$$ 4=a\cdot b^2 $$
Für B ist x=6 und y=f(6)=64. Dann hat man also
$$ 64=a\cdot b^6 $$
Ich forme jetzt beide Gleichungen nach a um.
$$ (A) \quad 4=a\cdot b^2\quad |:b^2\\a=\frac{4}{b^2}$$
$$ (B) \quad 64=a\cdot b^6\quad |:b^6\\a=\frac{64}{b^6} $$
Jetzt kann ich beide Gleichungen gleichsetzen, um so b zu bekommen.
$$ \frac{4}{b^2}=\frac{64}{b^6}\quad |:4\\ \frac{1}{b^2}=\frac{16}{b^6}\quad |\cdot b^6\\b^4=16\quad |\sqrt[4]{}\\b_{1,2}=\pm 2\\b_1=2,\quad b_2=-2 $$
Die Lösung b_2 ist nicht sinnvoll, zumal es sich hier um ein Wachstum handelt. Also nur b_1. Damit berechnet man mit einer der nach a umgestellten Gleichung a.
$$ (A)\quad a=\frac{4}{2^2}=1 $$
Also hat man
$$ f(x)=2^x. $$
Die Funktion $$ f(x)=(-2)^x $$ ginge nicht, da zum Beispiel bereits $$ f(5)=(-2)^5\neq +32 $$ ist.
