Gewöhnliche Differentialgleichung n-ter Ordnung - spezielle Lösung

Question

ich hänge gerade fest, wenn ich bei einer inhomogenen gDL n-ter Ordnung eine spezielle Lösung bestimmen muss. mit f als Polynom. Also eigentlich hängt es nur am ersten Schritt, der Rest funktioniert einwandfrei. Beispiel:

y^'' + y'  = x¹

Unser Ansatz ist nun: Wir suchen eine Lösung y: ℝ→ℝ mit y(x)=ax³ +bx² +cx +d , a,b,c,d∈ℝ.  Meine Frage nun: Woher kenne ich den Grad der Lösung? Ich weiß, dass ich den höchsten Grad vom Polynom addieren muss mit einer von der linken Seite um den Grad der Lösung herauszufinden, aber ich komme einfach nicht mehr drauf welchen. Also in dem Beispiel ist der höchste Grad vom Polynom 1. Also 1 + ? =3 

Ich hoffe einfach mal, dass jemand die Frage versteht und mir helfen kann.

LG meghan16

Answer 1

auf der rechten Seite steht ein Polynom ersten Grades, auf der linken Seite tritt als höchste Ableitung eine zweite Ableitung auf, daher ist der Ansatz dritten Grades, denn 3-2=1. Höhere Ordnungen würden beim Koeffizienten Vergleich sonst nur 0 als Vorfaktor bekommen.

Comments

und wo liegt dann mein Denkfehler bei der Aufgabe:

y^''+2y^' +2y=-4x²  -2 -> Grad der Lösung ist laut unserer Berechnung in der Uni 2.

Aber wenn ich das wie oben rechne habe ich doch 2+2=4 ?!

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Nein, der Grad des Ansatzes ist 4. Das die Lösung am Ende nur vom Grad 2 ist hängt von der genauen Struktur der DGL ab. Wenn du den Ansatz vom Grad 4 machst bist du auf jedenfall auf der sicheren Seite.

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oh achso, okay, dann ist mein Problem geklärt, danke^^

Kannst du mir vielleicht trotzdem noch erkären warum wir dann den Ansatz mit dem Grad 2 machen ?

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bzw. wenn ich die zweite Aufgabe mit dem gleichen Ansatz, Grad 4 aufstelle, lässt sich das ja fast nicht mehr berechnen. Welches Detail übersehe ich?

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$$y=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\\ y'=4ax^3+3bx^2+2cx+d\\ y''=12ax^2+6bx+2c$$

Das musst du einsetzen und dann einen Koeffizientenvergleich machen.

Mmmh,da links x^4 nur im Term y vorkommt, ergibt sich direkt a=0 und sukszesive auch damit b=0. Vermutlich kann man das doch schon vorher erkennen ;) . Aber falsch ist es nicht.

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Ah okay, ja die Ableitungen hatte ich auch so, dass a=0 und b=0. Da war die lange Leitung. Supi, danke Dir!

Answer 2

y_h= C₁ e^{-x} +C₂

yp= x(A+Bx)

2.Seite,Punkt2,1.Zeile, a₀=0,a₁≠0 (weil kein y vorhanden ist)

http://micbaum.y0w.de/uploads/LoesungsansaetzeDGLzweiterOrdnung.pdf

Answer 3

Hallo

 der höchste Grad der Ableitung links ist 2, der höchst Exponent rechts ist 1, deshalb das Polynom von 1+2=3 ten grades.

wäre die Dgl y'+y=x, wäre es nur 1+1=2ten Grades.

(wenn man sehr unsicher ist kann man immer ein Polynom mit zu hohem grad nehmen, dann fällt der Koeffizient mit dem höchsten Grad einfach weg.)

Gruß lul

Comments

Dann hänge ich allerdings immer noch an der zweiten Aufgabe (siehe Kommentar oben). Was mache ich da falsch?

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Hallo

 meine Aussage war zu speziell und falsch sieh dir bitte den Link  von meghan an.

Gruß lul