Zeigen Sie, dass für jedes n ∈ℕ die folgende Ungleichung erfüllt ist: (2n+1)/((n+1)^2) ≥ 2/(n+2)

Question

Zeigen Sie, dass für jedes n ∈ℕ₀ die folgende Ungleichung erfüllt ist:

$$\frac { 2n+1 }{ { (n+1) }^{ 2 } } \ge \frac { 2 }{ n+2 }$$

Ich versuhe die mit der völlständigen Indutkion zu zeigen:

Induktionsanfang:

Angenommen n=1. Es gilt:

$$ \frac { 2*1+1 }{ { (1+1) }^{ 2 } } \ge \frac { 2 }{ 1+2 } \\ \frac { 3 }{ 4 } \ge \frac { 2 }{ 3 } $$ 
Also passt.

Induktionsschritt: 

Wenn das für n=1 gilt, dann sollte es für n+1 gelten.
$$ \frac { 2n+1 }{ { (n+1) }^{ 2 } } \ge \frac { 2 }{ n+2 } \\ \\ \\ \frac { 2(n+1)+1 }{ { (n+2) }^{ 2 } } \ge \frac { 2 }{ n+3 } \\ \\ \\ \frac { 2n+3 }{ { n }^{ 2 }+4n+4 } \ge \frac { 2 }{ n+3 } \\ \\ \frac { 2n+3 }{ { n }^{ 2 }+4n+4 } -\frac { 2 }{ n+3 } \ge 0\\ \\ \frac { (n+3)(2n+3)-({ 2n }^{ 2 }+8n+8) }{ { (n }^{ 2 }+4n+4)(n+3) } \ge 0\\ \\ \frac { n+1 }{ { (n }^{ 2 }+4n+4)(n+3) } \ge 0 $$

weil n ∈ℕ_{0, somit ist $$\frac { n+1 }{ { (n }^{ 2 }+4n+4)(n+3) } \ge 0$$.} 

w. z. b. w.

Habe ich die Aufgabe richtig gemacht?

Answer 1

ja das sieht gut aus. Ist aber mit Kanonen auf Spatzen geschossen ;)

Wen du ein paar Umformungen machst, siehst du, dass die Ungleichung äquivalent zu n>=0 ist, also stets erfüllt.

$$\frac{2n+1}{n+1}^2>\frac{2}{n+2}|*(n+1)^2*(n+2)\neq0\\ (2n+1)(n+2)>=2(n+1)^2\\ 2n^2+4n+n+2>=2n^2+4n+2\\ n>=0$$

Comments

Danke für die Antwort und Tipps.