Entscheiden Sie für folgende Folgen, ob liminf n→∞ an, limsup n→∞ an bzw. lim n→∞ an existieren

Question

Entscheiden Sie für folgende Folgen (a_n)n∈ℕ, ob lim inf n→∞a_n, lim sup n→∞a_n bzw. lim n→∞a_n existieren und bestimmen Sie diese Werte gegebenenfalls.

a_n:={ -(1-1/n) falls n=2^k für ein k∈ℕ

         1-1/n sonst

Mein Lösungsvorschlag:

1. Fall: falls n=2^k für ein k∈ℕ

$$\lim _{ n->\infty  }{ a }_{ n= }{ -(1-\frac { 1 }{ n }  } )=-1$$
Supremum existiert in diesem Fall.
$$ \lim _{ n->\infty  }{ { inf\quad a }_{ n= }-(1-\frac { 1 }{ n } ) } =-1$$

2. Fall: sonst

$$\lim _{ n->\infty  }{ { a }_{ n= }1-\frac { 1 }{ n }  } =1$$

$$ \lim _{ n->\infty  }{ { inf\quad a }_{ n= }1-\frac { 1 }{ n }  } =\frac { 1 }{ 2 } \\ \\ \lim _{ n->\infty  }{ { sup\quad a }_{ n= }1-\frac { 1 }{ n }  } =1$$

Answer 1

Die Folge a_n hat eine Teilfolge, die gegen 1 und eine die gegen -1 konvergiert..

Sie hat genau zwei Häufungspunkte, nämlich -1 und 1.

Also ist limes inferior die -1 und limes superior die 1

und konvergieren tut die Folge nicht.