Anfangswertproblem DGL 1. Ordnung

Question

Abend,

kann mir jemand einen Ansatz für die Lösung des folgenden AWPs geben?

$${ (y') }^{ 2 }*(1-{ x }^{ 2 })\quad =\quad 1-{ y }^{ 2 }$$

Unknown: Formel eingebunden.

Comments

Und kann mir jemand erklären, wie ich Formeln einbinden kann? Einfaches Kopieren scheint ja nicht zu klappen.

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So

$${ (y') }^{ 2 }*(1-{ x }^{ 2 })\quad =\quad 1-{ y }^{ 2 }$ $

oder so

\({ (y') }^{ 2 }*(1-{ x }^{ 2 })\quad =\quad 1-{ y }^{ 2 }\ )

ohne die Leerzeichen an vorletzter Stelle ;).

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Klicke auf die Formel und dann auf TeX-Befehle

Answer 1

Falls die Aufgabe so lautet:

(y')^2 *(1-x^2)= 1-y^2

(y')^2 = (1-y^2) /(1-x^2)

y' = ± √ ((1-y^2) /(1-x^2)) ->Trennung der Variablen

Answer 2

Hi,

der Trick heißt Separation der Variablen. Wegen dem Quadrat noch die Wurzel ziehen.

$$\frac{y'}{\sqrt{1-y^2}} = \pm\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

Das nun integrieren:

$$\ln(\sqrt{1-y^2}+y) = \pm\ln(\sqrt{1-x^2}+x) + c$$

Das kann bei Dir eventuell etwas anders aussehen, wenn Du Vorzeichen etwas ander gestaltest. Die kann man meist ins c verpacken.

Das noch nach y auflösen, in dem Du die e-Funktion anwendest. Das wird aber weniger schön, ist aber eigentlich nur Fleißarbeit. Viel Spaß :D.

Grüße