Wie kann ich die Normalform in eine Scheitelpunktform umwandeln?

Question

Ich sitze gerade an meinen Hausaufgaben und wir haben das Umformen von der Normalform in die Scheitelpunktform. Da ich das Thema in der 9. Klasse schon nicht verstanden habe, habe ich ein paar Probleme. Also, die Aufgabe lautet:

f(x) = 2,5x²+5x-5

Ich habe die 2,5 vorgeklammert und die Gleichung lautet jetzt: f(x)= 2,5*(x²+2x-2)

Muss ich jetzt die 1. binomische Formel anwenden und ist es immer die 1. binomische Formel? Das mit diesem z.B +1-1 hab ich auch nicht so ganz verstanden.

Answer 1

\(f(x) = 2,5x^2+5x-5\)  in die Scheitelpunktform überführen:

\(f'(x) = 5x+5\)

\( 5x+5=0\)

\( x=-1\)      \(f(-1) = 2,5-5-5=-7,5\)

\(f(x) = 2,5(x+1)^2-7,5\)

Comments

Das kann nur als generelle Alternative betrachtet werden. Für den Fragesteller vermutlich nicht (abgesehen davon, dass die Frage über 12 Jahre (!) alt ist). Es wird von der 9ten Klasse gesprochen, wo meines Wissens Ableitungen noch nicht behandelt werden (und noch sicherer: damals nicht wurden).

Darf ich fragen, was Du mit Deiner verspäteten Ergänzung beabsichtigst? Während es sich hier um eine angenehme Ausnahme handelt mit über 140k Aufrufen, sind die meisten Deiner Ergänzungen bei weniger frequentierten Fragen zu finden. Die Wahrscheinlichkeit, dass jemand derart verspätet einen Nutzen findet, geht gegen 0. Insbesondere, da Du teils Faible für Spezialherangehensweisen hast, die unbekannt, aufwändiger oder eben nur in Spezialfällen funktionieren. Womit sich die Wahrscheinlichkeit, dass jemand einen Nutzen daraus zieht, noch weiter senkt (noch näher bei 0^^).

Solange Ergänzungen richtig sind (und nach so langer Zeit) keine Wiederholung der anderen Antworten sind, spricht natürlich nichts dagegen, dass Du dem weiter nachgehst. Ich wollte nur auf die Aufrufe hinweisen und den Nutzen ansprechen.

Grüßle

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Erstmal ein Danke für deine Überlegungen.

Ja, ich habe ein Faible für Lösungen. die aus der üblichen Reihe fallen.

z. B . beim Lösen von quadratischen Gleichungen, da ziehe ich grundsätzlich die quadratische Ergänzung vor. Vor alle kommt diese dann besser zum Tragen, wenn der x-Term mehrgliedrig ist: \(4x^2+(2u-4)\cdot x= 23\). Hier kann in meinen Augen die Mitternachtsformel schnell zu Lösungsfehlern führen.

Weiter ziehe ich z.B.die Umwandlung von \( 5x^{3}\cdot e^{-x^2}\) in \( \frac{5x^{3}}{e^{x^2}} \) vor, wenn es um die Ableitung geht.

Bei Steckbriefaufgaben kann es teilweise zu langwierigen Berechnungen für a, b, c, d... kommen. Oft ist schon ein Extremwert oder auch ein Sattelpunkt irgendwo gelegen, so bietet es sich doch an den Graphen so nach unten oder auch oben zu verschieben , um eine doppelte bzw. dreifache Nullstelle zu haben, um dann in der Nullstellenform der Parabeln fortzufahren . ( Selbiges gilt auch, wenn ein Graph im Bild gegeben ist.)

Ob nun jemand aus alledem seinen Nutzen zieht, wissen wir ja nicht. Mir macht es Spaß, und hilft auch meinem Gehirn.

Answer 2

Hierzu brauchst du das Mathe-Video F06 Teil 3: Allgemeinform und Quadratische Ergänzung (da steckt die binomische Formel dahinter):

https://www.youtube.com/watch?v=JVDtnTfbBXc

Quelle: Mathe-Lektion F06: Quadratische Funktionen (Parabeln)

Dann kannst du lösen:

f(x)= 2,5x²+5x-5
f(x)= 2,5*(x²+2x-2)
 

x²+2x ist der Anfang der 1. Binomischen Formel damit können wir annehmen: x²+2x+1² = (x+1)² also müssen wir, weil wir umwandeln wollen und gleichzeitig die Formel weiter stimmen soll, die +1² (die ja jetzt zuviel wäre) mit -1² wieder abziehen (siehe auch Video)

f(x)= 2,5*(x²+2x-2)
f(x)= 2,5*((x+1)²-1²-2)

// die beiden Zahlen hinten einfach zusammengerechnet
f(x)= 2,5*((x+1)²-3))

// ausmultiplizieren
f(x)= 2,5*(x+1)²-2,5*3
f(x)= 2,5*(x+1)²-7,5

Das ist die fertige Scheitelpunktform!


Übrigens heißt es nur Normalform, wenn 1*x² in der Allgemeinform steht...