Optimierungsaufgabe: Joghurtbecher soll möglichst kostengünstig sein

Question

Ein Joghurtbecher mit der Form eines geraden Kreiszylinders mit Boden und Deckel habe das Volumen von 250 ml. Der Boden und die wand bestehen aus Kunststoff und der deckel aus aliminium. das material des Bechers soll möglich kostengünstig sein. berücksichtigen sie dass ein stück Aluminium doppelt so teuer ist wie ein gleichgroßes Stück Kunststoff.

Frage: muss ich hier die Fläche oder Umfang berechnen?

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Die Gesamtkosten sind Deckelfläche mal alupreis plus (mantelfläche plus boden) mal kunststoffpreis.

Answer 1

Die Flächen, Zylinderwand und drei Kreise.

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Was heißt 3 Kreise?

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du hast den Zylindermantel und den Boden aus Kunststoff der Deckel aus Alu, der kostet 2 mal, also drei Kreise und ein Mantel für den ganzen Becher. Den Umfang brauchst Du letztlich für die Mantelfläche auch.

Answer 2

V = pi·r^2·h = 250 --> h = 250/(pi·r^2)

K = 3·pi·r^2 + 2·pi·r·h
K = 3·pi·r^2 + 2·pi·r·250/(pi·r^2) = 3·pi·r^2 + 500/r
K' = 6·pi·r - 500/r^2 = 0 --> r = (250/(3·pi))^{1/3} = 2.982 cm

h = 250/(pi·((250/(3·pi))^{1/3})^2) = (2250/pi)^{1/3} = 8.947 cm