Auf Symmetrie, Reflexivität und Transitivität untersuchen

Question

Auf der Potenzmenge P(ℕ) werden folgende Relationen definiert:

1.) A ~ B falls A\B endlich ist
2.) A ~ B falls A (symmetrische differenz) B endlich ist.
Untersuche Sie auf Reflexivität, Symmetrie und Transitivität.

1.)

Reflexivität. Es ist nicht reflexiv, weil (A,A) impliziert, dass A nicht A ist.
Symmetrie ist es, weil (A,B) = (B,A) ist, aus der Reflexivität
Transitivität: hier bin ich mir nicht sicher. Da A\B endlich ist, kommt der Zug doch an irgendeinem Element zum stehen. Wie ich das Formell zeige, weiss ich nicht ganz.

2.)

Reflexiv ist es nicht. wie bei 1
Symmetrie ja wie bei 1
Transitivität wieder nein, weil es Elemente in A und B gibt, die nicht Zwangsweise in C liegen müssen, nur wie zeigen?

Stimmt das soweit überhaupt?

Answer 1

A ~ B falls A\B endlich ist

A\A ist die leere Menge. Die leere Menge ist endlich. Also gilt A~A.

Es ist {} ~ ℕ weil {}\ℕ = {} endlich ist. Allerdings ist nicht ℕ ~ {}, weil ℕ\{} = ℕ unendlich ist. Also ist die Relation nicht symmetrisch.

Comments

Warum schaust du den Fall A\A an? A\B hat doch nichts mit der Relation zu tun sondern nur mit der Menge. Daraus ein A\A zu machen erschliesst sich mir nicht

---

Warum schaust du den Fall A\A an?

Weil Reflexivität verlangt, dass A~A ist. Übersetzt auf die konkrete Relation heißt Refelxivität, dass A\A endlich sein muss. Das ist es, also ist die Relation reflexiv.

---

Aber auf B muss die Reflexivität ja auch gültigkeit haben und über B wissen wir nicht, dass es endlich ist

---

Aber auf B muss die Reflexivität ja auch gültigkeit haben

Etwas ausführlicher:

A ~ B falls A\B endlich ist

Gemeint ist, für jede Teilmenge A von ℕ und für jede Teilmenge B von ℕ gilt A ~ B falls A\B endlich ist.

Beachte, dass A und B außerhalb des vorhergehenden Satzes keine Bedeutung mehr haben. Die Namen A und B wurden nur zu dem Zweck eingeführt, um im Satzteil "A ~ B falls A\B endlich ist" darauf Bezug nehmen zu können.

---

Verstehe. Danke schön. Kann man bei 1 die Transitivität Formal schön widerlegen und bei 2 sie beweisen, oder nur durch schriftliche Argumentation?