Knickfreiheit zwischen f(x) = x² - 1,5x + 1 und g(x) = 1,6x - 1,2. Zudem Tangentengleichung.

Question

Untersuchen ob f und g an den Schnittstellen ineinander übergehen.

Aufgabe 1

f(x) = x² - 1,5x + 1

g(x) = 1,6x - 1,2

Aufgabe 2

f(x) = 2,5x³ - 3,9x² - 1,8x + 1

gesucht: Tangente an f in x= 1

Kann mir jemand bitte bei den Aufgaben helfen?

Comments

Knickstelle?

Untersuchen ob f und g an den Schnittstellen ineinander übergehen.

Aufgabe 1

f(x) = x² - 1,5x + 1

g(x) = 1,6x - 1,2

Sollst du feststellen, ob die Graphen knickfrei ineinander übergehen?

Wenn ja, hat dir Yukawah vorgerechnet, dass das nicht so ist.

Answer 1

Bei Aufgabe 1 weiß ich leider nicht, was mit "ineinander übergehen" bedeutet.

Zu Aufgabe 2:

Tangente an f bedeutet, dass eine Gerade (y = m*x + n) dieselbe Steigung hat wie f an der Stelle x=1 und durch den Punkt (1|f(1)) geht. Für die Steigung benötigst du die erste Ableitung:

$$ f'(x) = 7,5x^2-7,8x-1,8 \ .$$

Steigung an der Stelle x=1:

$$ f'(1)= 7,5-7,8-1,8 = -2,1$$

Das m unserer Gerade ist also bestimmt. f und unsere Gerade gehen beide durch den Punkt (1|f(1)), wobei

$$ f(1) =2,5-3,9-1,8+1 = -2,2$$

ist. Diesen Punkt setzen wir in die Geradengleichung ein und lösen nach n auf:

$$-2,2 = -2,1 \cdot 1 + n$$

$$ \Leftrightarrow \quad n = -0,1 \ .$$

Damit lautet die Tangentengleichung:

$$y = -2,1 \cdot x - 0,1 \ . $$

Comments

Danke für die Antwort.

Bei Aufgabe 1 soll man zeigen ob f und g sich an den Schnittstellen berühren oder ob sie aneinander vorbei laufen.


Hilft dir das weiter? Vielleicht kannst du es jetzt lösen. Wäre nett.

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Okay, also ich habe hier schön öfter gelesen, wie einige solche Aufgaben lösen. Meiner Meinung nach ist dieses Verfahren nicht hinreichend, aber vielleicht reicht den Lehrern das ja.

Also zuerst einmal muss überprüft werden, an welchen Stellen sich die beiden Funktionen schneiden. Somit beide Funktionen gleichsetzen und nach x auflösen. Dadurch erhältst du dann

$$x_1 = 1,1 \quad und \quad x_2 = 2 \ .$$

So, als nächstes musst du überprüfen, ob die Ableitungen von f und g an den eben berechneten Schnittstellen dieselbe Steigung haben. Wenn die Steigung dieselbe ist, handelt es sich um einen Berührpunkt. Wenn die Steigung verschieden ist, schneiden sie sich.

Für diese Aufgabe bedeutet das:

$$f '(x_1) = 0,7 \ , \quad g'(x_1) = 1,6 $$

$$f'(x_2) = 2,5 \ , \quad g'(x_2)= 1,6 \ . $$

Die Steigungen sind jeweils unterschiedlich, also handelt es sich an beiden Stellen um Schnittstellen.


(Anmerkung: Für Schnittstellen ist dieses Verfahren in Ordnung. Sind die Steigungen allerdings gleich, wären meiner Meinung nach weitere Schritte notwendig, um zu überprüfen, ob es eine Schnitt- oder Berührstelle ist.)

Answer 2

 

wenn ich recht verstehe, sind das zwei Funktionen, und die Frage ist, ob sie sich schneiden.

i(x) = x² - 1,5x +1

j(x) = 1,6x - 1,2

 

Um zu überprüfen, ob sich die beiden Funktionen schneiden, müssen wir die beiden Funktionsgleichungen 

gleich setzen: 

i(x) = j(x)

x² - 1,5x + 1 = 1,6x - 1,2 | -1,6x + 1,2

x² - 3,1x + 2,2 = 0

pq-Formel: 

x_1,2 = 1,55 ± √((1,55)² - 2,2) = 1,55 ± √(2,4025-2,2) = 1,55 ± 0,45

x₁ = 2

x₂ = 1,1

Die beiden Graphen schneiden sich an den Stellen

(2|j(2)) = (2|i(2)) = (2|2)

und

(1,1|j(1,1)) = (1,1|i(1,1)) = (1,1|0,56)

 

Besten Gruß

Comments

Ich habe die Frage glaube ich falsch formuliert. Ich muss überprüfen ob i und j an den schnittstellen ineinander übergehen.

Tun sie das? Ich weiß es echt nicht.

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Das kann ich Dir auch nicht sagen :-(