Punkt A ohne KNICK zu Gerade y=-2x+4

Question

In meiner Aufgabe soll ich eine Parabelgleichung bestimmen,

für meinen dritten Punkt möchte ich die Gleichung rausbekommen.

Gegeben: Punkt A: (1/2), dieser liegt auf der Geraden g1 mit der Gleichung y=-2x+4,

Punkt A schließt ohne Knick an die Gerade durch A an.

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Die Lösung ist wohl f'(1)= -2 bzw. 2a+b=-2

...ich hab aber keine Ahnung wie man darauf kommt,

könnt ihr mir erklären wie man dieses ohne Knick mathematisch bestimmt?

Comments

ich denke bei deiner Fragestellung fehlen noch Informationen.

Eine Parabel

f ( x ) = a*x^2 + b*x + c
f ´( x ) = 2*a*x + b

geht durch den Punkt A (  1 l 2 ). Dort ist die Steigung
-2. Dies ist durch die Gerade bekannt. Also haben wir

f ( 1 ) = a*1^2 + b*1 + c = 2
f ´( 1 ) = 2*a*1 + b = -2

f ( 1 ) = a  + b + c = 2
f ´( 1 ) = 2*a + b = -2

Wir haben also 2 Gleichungen mit 3 Unbekannten.
Das reicht noch nicht.

Es sei den es handelt sich um eine Parabel mit der
Funktionsgleichung f ( x ) = a*x^2 + b

mfg Georg

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Suchst du eine Parabel oder alle denkbaren Parabeln ?

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Eine quadratische Parabel.

ax^2+bx+c

Es geht mir hier nur um das c,

genauer wieso man den x-Wert nimmt (wiesobezeichnet x eine Steigung, die x Achse ist doch flach)

und wie man dies knickfrei genau bestimmt. (Die Löung hab ich ja schon geschrieben, ichversteh sie nur nicht)

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Die Gerade mit der Gleichung  y=-2x+4 hat die Steigung m= -2.

Das muss eine Kurve in diesem Punkt auch haben. Daher:  f'(1)= -2 bzw. 2a+b=-2

Kannst du denn schon ableiten?

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Es geht mir hier nur um das c,

genauer wieso man den x-Wert nimmt (wiesobezeichnet x eine Steigung, die x Achse ist doch flach).

bei f(x) = ax^2 + bx + c ist c der y-Achsenabschnitt der Parabel. Gleichung der y-Achse: x=0.

Daher: f(0) =  c . 

Ist jetzt aber nichts von dem, was du zu Beginn gefragt hast.

Answer 1

Zwei Kurven f ( x ) und g ( x ) gehen im Punkt A ( x | y ) knickfrei ineinander über, wenn in diesem Punkt ihre Steigungen gleich sind, wenn also gilt:

f ' ( x ) = g ' ( x )

In deinem Beispiel ist die Gerade

g (  x ) = - 2 x + 4

und der Punkt

A ( x | y ) = ( 1 | 2 )

gegeben.

Gesucht ist nun offenbar eine Parabel

f ( x ) = a x ² + b x + c

für die gilt: 

f ( 1 ) = 2 [Der Punkt A ( 1 | 2 ) muss die Parabelgleichung erfüllen]

und

f ' ( 1 ) = g ' ( 1 ) [Die Steigungen von f und g an der Stelle 1 müssen gleich sein (Knickfreiheit)]

Es muss also gelten (erste fett gesetzte Gleichung):

f ( 1 ) = 2

<=> a * 1 ² + b * 1 + c = 2

<=> a + b  + c = 2

 

Die Ableitungen der beiden Kurven f und g sind:

f ' ( x ) = 2 a x + b sowie g ' ( x ) = - 2

sodass also aus der zweiten fett gesetzen Gleichung folgt::

f ' ( 1 ) = g ' ( 1 )

<=> f ' ( 1 ) = - 2

<=> 2 a * 1 + b = - 2

<=> 2 a + b = - 2

(Die rot gesetzte Gleichung entspricht der in deiner Frage angegebenen Lösung)

Löst man das Gleichungssystem aus den beiden violett gesetzten Gleichungen auf, so ergibt sich:

b = - 2 ( a + 1 )

c = a + 4

Die Parameter b und c hängen also vom Parameter a ab. Gibt man also einen beliebigen Wert für a vor (außer a = 0 ) kann man daraus Werte für b und c bestimmen, sodass die Parabel f ( x ) =a x ² + b x + c im Punkt A ( 1 | 2 ) knickfrei an die Gerade g ( x ) = - 2 x + 4 anschließt..

Mit anderen Worten:

Alle Parabeln f ( x ) = a x ² + b x + c mit b = - 2 ( a + 1 ) und  c = a + 4

also alle Parabeln der Form

f ( x ) = a x ² - 2 ( a +1 ) x + 4

schließen im Punkt A ( 1 | 2 ) knickfrei an die Gerade g ( x ) = - 2 x + 4  an.

Zur Illustration hier mal drei dieser Parabeln, nämlich für a = - 3 , a = 1 und a = 4:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=-2x%2B4%2C[-3]x%C2%B2-2%28[-3]%2B1%29x%2B4%2B[-3]%2C[1]x%C2%B2-2%28[1]%2B1%29x%2B4%2B[1]%2C[4]x%C2%B2-2%28[4]%2B1%29x%2B4%2B[4]from0to2