Zahlentheoretisches Problem, Quadratzahlen

Question

ich versuche eine Lösung für folgendes Problem ( mit Computerunterstützung ) zu finden und bin am verzweifeln:

Seien x, y, z natürliche Zahlen und x > y > z > 0. Gesucht ist das Minimum von x + y + z, so dass

x + y, x - y, x + z, x - z, y + z, y - z alles ( nicht notweniger Weise gleiche )  Quadratzahlen sind.

Ich habe schon einige Informationen herausgekriegt, mit der man die Berechnung vereinfachen kann, aber mein Computer schafft es noch nicht.

Bin für jeden Tipp dankbar, wie man die möglichen Zahlen für x, y, z einschränken kann!

Danke,

Thilo

Comments

Für x=y=z=2 sind alle Fälle Quadratzahlen und damit ist das Minimum kleiner-gleich 6.

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Dies verletzt die Bedingung x > y > z > 0.

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Ich bin der Meinung, dass für \( x \), \( y \) und \( z \) folgende Einschränkung aus der Minimalitätsforderung folgt: \( x \), \( y \) und \( z \) haben paarweise keine doppelten gemeinsamen Teiler (keine Quadratzahlen als gemeinsame Teiler).

Der Grund liegt darin, dass paarweise Summen und Differenzen von \( x \), \( y \) und \( z \) Quadratzahlen sein sollen. Teilt eine Quadratzahl \( p^2 \) (ein doppelter Teiler) sowohl \( x \) als auch \( y \) mit \( x + y = q^2 \) für ein existierendes \( q \), so kann man die gesamte Gleichung teilen durch \( p^2 \) und erhält kleinere \( x^* = \frac{x}{p^2} \) und \( y^* = \frac{y}{p^2} \) mit \( q^* = \frac{q}{p^2} \).

Somit impliziert die Minimalitätsforderung von \( x + y + z \), dass \( x \), \( y \) und \( z \) keine Quadratzahlen als gemeinsame Teiler haben.

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Ein weiteres Merkmal der Zahlen \( x \), \( y \) und \( z \) ist, dass wegen

\( (x - y) + (y - z) = (x - z) \)

ein Pythagorastripel entsteht.