Finden Sie die Lösung der folgenden rekursiven Gleichung

Question

Finden Sie die Lösung für folgende rekursive Gleichung

S(x) = x + β*S(x+γ), wobei β < 1 und γ > 0.

Nehmen Sie an, dass sich x wie folgt durch die Zeit bewegt x_t=x_t-1+γ.

Tipp: Vermuten und beweisen Sie, dass die Wertefunktion (value function) linear ist.

Answer 1

Ich vermute das eine Lösung Deiner rekursiven Gleichung $$ S(x)=\frac{1}{\beta}(x+y) $$ lautet. Beweisen kannst Du es selber, indem Du den Ausdruck einfach in die rekursive Form einsetzt.

Wie komt man darauf? Einfach ein paar Werte einsetzen und schauen was dabei raus kommt. Anschließend dann y und ß varieren.

Die Lösung ist natürlich vom gewählten Startwert abhängig. Erfüllt der Startwert die obige Gleichung, so erfüllen auch alle weiteren Werte diese Gleichung. Erfüllt der Startwert die Gleichung nicht, so bewegen sich die Werte asymptotisch auf diese zu.

Gruß Werner

Comments

Hallo Wolfgang,

Vielen Dank für Deine Antwort. Setze ich Deinen Vorschlag in die Gleichung mit S auf beiden Seiten ein, so erhalte ich

(1/β)*(x+γ)=x+β*((1/β)*(x+γ+γ))

Löse ich dies weiter auf, so steht am Ende dort

(1/β)*(x+γ)=2*(x+γ)

Diese Gleichung ist nur erfüllt, sofern β = 1/2.

Ist das dann meine Lösung? Bei mir scheitert es schon daran, dass ich nicht verstehe, wonach genau hier gefragt ist. In anderen Worten, was genau ist die Lösung einer rekursiven Gleichung in dieser Aufgabe?