Welche der Ebenen ist ein Untervektorraum des R³?

Question

Man soll zwei Ebenen aufstellen. Die erste Ebene soll aus P (3,-1,-2) , Q(1,2,4) und R(4,1,2) aufgestellt werden und die zweite Ebene aus P(0,3,2), Q(1,2,4) und 4,1,2).Die Ebenengleichungen kann ich selbst aufstellen. Aber die Frage welche der Ebenen einen Untervektorraum des R³ darstellt kann ich nicht beantworten.Vielleicht kann mir jemand einen Tipp geben wie man drauf kommt und welche Bedingungen hier für einen Untervektorraum erfüllt sein müssen.

Answer 1

Hallo Simon,

eine Ebene stellt im ℝ³ genau dann einen Unterraum dar, wenn sie den Nullpunkt enthält.

Wenn du dir eine Ebene durch den Ursprung vorstellst, dann kannst du dort mit den Ortsvektorpfeilen  geometrisch die Vektoraddition ausführen und des Ergebnis liegt wieder in dieser Ebene. 

Außerdem enthalten diese Ebenen den neutralen Nullvektor, die inversen (negativen) Vektoren und alle Vielfachen von Vektoren.

Gruß Wolfgang

Comments

Hallo Wolfgang 

Warum funktioniert das mit der VektorAddition nicht mit Ebenen die nicht durch den Ursprung gehen .  Ich könnte doch auch da zwei Punkte der Ebene nehmen, diese addieren und würde wieder in der selben Ebene landen oder nicht?

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Der Pfeil des Ortvektors eines solchen Summenvektors hat seine Spitze nicht in der Ebene. Der zugehörige Punkt liegt deshalb nicht in der Ebene.Wenn du zum Beispiel die zur x₁-x₂-Ebene  parallele Ebene mit der Gleichung  x₃ = 4 nimmst, dann gilt: 

\(\begin{pmatrix} 1\\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}\) + \(\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}\) = \(\begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 8 \end{pmatrix}\).

Der zum Summenvektor gehörige Punkt liegt also nicht in der Ebene mit   x₃ = 4 .

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Wie überprüfe ich des dann allgemein?

Kann ich einfach zwei beliebige Ebenenpunkte nehmen und prüfen ob der SummenVektor in der Ebene liegt ? oder gibt es hier Vorgaben wie man die Punkte zu wählen hat?

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Es gibt keine Vorgaben für die Punkte. Der Summenvektor zu zwei verschiedenen Punkten einer Ebene liegt genau dann in dieser Ebene, wenn die Ebene durch den Ursprung geht.