Hoch- und Tiefpunkt, Wendepunkt zeigen

Question

In der Prüfung müssen wir, die Extrema bzw. Hoch- und Tiefpunkt sowie Wendepunkte zeigen. Wie muss ich vorgehen? Soll ich den Punkt in die Funktion einsetzten oder...?

Comments

In der Prüfung müssen wir, die Extrema bzw. Hoch- und Tiefpunkt sowie Wendepunkte zeigen

Meinst du damit auf einem Bild zeigen?

Answer 1

Hochpunkt: Maximum

Tiefpunkt : Minimum

Comments

Kann ich das damit zeigen? Weil berechnen sollen wir nicht?

---

Beispiele mit Skizzen findest du über die "ähnlichen Fragen".

https://www.mathelounge.de/94692/rekonstruktion-funktion-wendepunkt-koordinatenursprung

Beachte aber, dass in der Mathematik "zeigen" für "beweisen" verwendet wird. D.h. du solltest diesen Begriff nicht für Zeichnungen / Skizzen verwenden.

Answer 2

  Etwas ganz Besonderes gilt für Polynome 3. Grades. Gegeben sei die Normalform

      f  (  x  )  :=  x  ³  +  a2  x  ²  +  a1  x  +  a0      (  1a  )

      Dann brauchst du für den Wendepunkt keine Ableitungen; es gilt nämlich

      x  (  w  )  =  -  1/3  a2      (  1b  )

    Was für Steckbriefaufgaben wichtig ist: Alle kubistischen Polynome verlaufen Punkt symmetrisch gegen ihren Wendepunkt; es gilt die Mittelwertbeziehung

     (  x  |  y  )  (  w  )  =  1/2  [  (  x  |  y  )  (  max  )  +  (  x  |  y  )  (  min  )  ]       (  2  )

    Aber jetzt mal allgemein, ich sage immer: Es gibt keine notwendigen, sondern nur hinreichende Bedingungen.

    Jede gerade Nullstelle ist ein lokales Extremum.

   Jede ( mehrfache ) ungerade Nullstelle ist ein ===> Terrassenpunkt .

   Wendepunkte sind definiert als lokale Extremata der ersten Ableitung.

   Okay; in der Praxis wird man sich ( fast ) immer damit begnügen, die erste Ableitung Null zu setzen, wenn man Extrema sucht. Und entsprechend die zweite bei Wendestellen.

   Das geht aber nur, wenn du dir vorher das globale Kurvenverhalten überlegst ( Nullstellen, Asymptotik )  ; oder die Aufgabe bietet entsprechende eingekleidete geometrische oder physikalische Randbedingungen.

    Noch Fragen, Beispiele gewünscht?

Comments

Ein Beispiel dazu wäre echt hilfreich:)

---

  Z:B. das Folgende; normale Schüler kommen ja nie über die 2. Ableitung hinaus.  Schon oft kam die Frage

  " Wie kann y = x ^ 6 ein Minimum haben bei x = 0 ? Ich habe es nachgeprüft; die erste, zweite und dritte Ableitung sind Null  ... "

    Aber die erste von Null verschiedene ist die sexte, also gerade. Und du hast

        f(6)  =  6 !  >  0  ===>  min      ( 1 )

     Ein etwas komplizierteres Beispiel

     f  (  x  )  :=  (  x  -  1  )  ^  4 712   ( x- 3 )  ^ 5     (  2  )

     ist eine Funktion mit einer 4 712-fachen Nullstelle bei x = 1 ===> lokales Extremum, weil 4 712 gerade. Und bei x = 3 hat sie einen Terrassenpunkt, weil 5 > 1 ungerade.

    Jetzt willst du natürlich noch wissen, ob es sich bei dem Extremum um ein Minimum oder Maximum handelt. Dazu ist zu sagen: Ich entstamme einem Welt-Elektronikkonzern; da musstest du innovativ sein. Da knallte mir der Chef ein Buch auf den Tisch; hier das könnte uns intressieren. Erwarte Ihren Bericht spätestens nächste Woche ...

     Also. Die kleinste Ableitungsordnung von f in ( 2 ) , die bei x = 1 nicht verschwindet, ist die 4 712.  Um dir das klar zu machen, müsstest du in Wiki zu Mindest ( im Prinzip ) verstehen, was der ===> binomische Lehrsatz ( BL ) ist.

   ( Das ist einfach die Verallgemeinerung ( a + b ) ^ n ; den Spezialfall ( a + b ) ² kennst du ja schon. )

      ( Der BL erzählt dir übrigens auch was darüber, wie wahrscheinlich es ist, im Lotto zu gewinnen. )

   So; und dann schaust du mal unter ===> Leibnizregel. Das ist eine verallgemeinerte Produktregel, die dir erlaubt,  aus dem Stand die 4 712. Ableitung von ( 2 )  zu bilden, ohne vorher die 4 711. zu berechnen; und genau für den Leibniz brauchst du den BL. Das Ergebnis sollte sein

     f(4 712)  (  x  )  =  4 712 !    (  x  -  3 )  ^ 5   +  ....       (  3a  )

     Ich will dich jetzt nicht unnötig zudröhnen; die auf die Punkte folgenden fünf Reihenglieder enthalten sämtlich den Faktor ( x - 1 ) , und es folgt

    f(4 712)  (  1  )  =  -  2  ^ 5  *  4 712 !   <  0  ===>  max      (  3b  )

     In 99 % der Fälle kommst du eh nie über die 3. Ableitung hinaus. Du solltest aber nicht gleich die Flinte ins Korn werfen, wenn du dochmal an höhere Ableitungen musst.

   Insbesondere Funktionen aus Sinus und Kosinus mit ihrer Periode können sehr tückisch sein; da hat man von Vorn herein erst mal keinen natürlichen Anhaltspunkt, wo Maxima und Minima liegen könnten.