Binome Rätselaufgabe!

Question

Huhu! Ich habe gerade eine Frage/Rätsel gefunden, zu der mir keine Lösung einfällt!

Diese lautet:

Die Summanden 4x^2 *y^2 und 36 sind gegeben. Ergänze die Summe so, dass mithilfe des ersten Binomes ein vollständiges Quadrat entsteht. Gebe 3 Möglichkeiten an.

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Hallo

der Ausdruck ist nicht lesbar? soll das 4x^2*y^2+36 sein? und soll man passende x und y finden? dann schreib erstmal 36=2^2*3^2 und 4x^2=(2*x)^2

Gruß lul

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Addiere z.B. 81/(x²y²).

Answer 1

4x^2*y^2 + 24xy + 36 = (2xy+6)^2

 

Ps: Allgemeiner Ansatz zur Ergänzung der Summe \(u+v\) für die beiden anderen Möglichkeiten:$$u+v\:{\color{red}{+\dfrac{v^{2}}{4\cdot u}}}=\left(\sqrt{u}\right)^{2}+2\cdot\sqrt{u}\cdot\dfrac{v}{2\cdot\sqrt{u}}+\left(\dfrac{v}{2\cdot\sqrt{u}}\right)^{2}=\left(\sqrt{u}+\dfrac{v}{2\cdot\sqrt{u}}\right)^{2}$$

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(1/9)*x^4*y^4 + 4*x^{2}*y^{2} + 36 = ((1/3)*x^2*y^2+6)^{2}

Answer 2

Lösungen zur Kontrolle:

(2·x·y + 6)^2 = 4·x^2·y^2 + 24·x·y + 36

(2·x·y + 9/(x·y))^2 = 4·x^2·y^2 + 81/(x^2·y^2) + 36

(x^2·y^2/3 + 6)^2 = 1/9·x^4·y^4 + 4·x^2·y^2 + 36

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Danke erstmal! Aber die 2. und 3. Lösung verstehe ich nicht ganz. Könntest du mir die vielleicht etwas näher erklären? Bei Lösung 1 scheint mir alles klar zu sein.

LG

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Die binomische Formel lautet ja

(a + b)^2 = a^2 + 2·a·b + b^2

Fall 1, wenn beide Quadrate gegeben sind, hast du soweit scheinbar verstanden.

Anders du hast das Quadrat und den gemischten Term gegeben also

a^2 = 4·x^2·y^2 --> a = 2·x·y

2·a·b = 36

b = 36 / (2·a) = 36 / (2·2·x·y) = 9 / (x·y)

Damit kannst du dann jetzt die binomische Formel aufstellen.

Jetzt probierst du noch

a^2 = 36

2·a·b = 4·x^2·y^2

und löst das auch entsprechend nach a und b wie gemacht auf.