Nullstellen und Extremum der Funktionenschar f_a(x) = -ax² + 6x

Question

Wir haben das Kapitel mit den Kurvenscharen neu behandelt und ich komme bei der Aufgabe nicht weiter.

Parabelschar
Gegeben ist die Funktionenschar f_a(x) = -ax² + 6x, a > 0.
a) Bestimmen Sie die Nullstellen und das Extremum von f.
b) Zeichnen Sie die Graphen von f_2 und f_3.
c) Zeigen Sie: Alle Graphen der Schar haben einen gemeinsamen Punkt P.
d) Welche Steigung haben die Scharfunktionen im Punkt P?
e) Zeigen Sie, dass f_2 und f_3 sich im Punkt P berühren. 

Answer 1

a)
f(x) = -a·x^2 + 6·x
f'(x) = -2·a·x + 6
f''(x) = -2·a

Nullstellen f(x) = 0
-a·x^2 + 6·x = x·(6 - a·x) = 0 --> x = 0 ∨ x = 6/a

Extrempunkte f'(x) = 0
-2·a·x + 6 = 0 --> x = 3/a
f(3/a) = 9/a --> HP(3/a | 9/a)

b)

Zeichnen kannst du sicher selber. Wenn du die Zeichnung hast versuche die Ergebnisse von a) zu bestätigen. Danach gehts weiter.

Comments

Vielen Dank schonmal. Könntest du mir erklären wie du bei der Extremstelle mit den x=3/a weiter gerechnet hast?

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Du setzt 3/a in die Funktion für x ein und errechnest so den Funktionswert an der Stelle x = 3/a.

Mehr ist das nicht. Das besagt auch f(3/a).

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Sorry aber ich check das nicht ich denk hier glaub ich viel zu kompliziert

Wenn ich in der Funktion für x= 3/a einsetze, sieht das so aus

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Ja. Und kannst du das nicht noch vereinfachen? Mit Sicherheit!

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Ok jetzt hab ichs

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Ich hab mir die Graphen mit dem GTR zeichnen lassen und die Werte aus a) stimmen auch alle.

Aber wie gehts bei c jetzt weiter ? Ich habe ja keinen bestimmten Punkt gegeben, welchen Punkt muss ich jetzt wählen. Es wird ja wohl die Nullstelle bei x=0 sein aber wie schreibe ich sowas auf :'D.

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Du musst nur zeigen das egal was für ein Wert a hat immer

fa(0) = 0 gilt.

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c), d) und e) habe ich jetzt so gelöst ..., wobei die e) mich etwas verwirrt .. wenn alle graphen durch den Punkt P (wie in c)) gehen, dann ist es doch offensichtlich, dass f₂ und f₃ sich im Punkt P berühren.

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c) und d) sind soweit gut.

In e) langt es nicht zu zeigen das der Funktionswert identisch ist. Damit könnte es ja auch ein Schnittpunkt sein.

Für einen Berührpunkt muss laut Wikipedia gelten:

(c) https://de.wikipedia.org/wiki/Ber%C3%BChrung_(Mathematik)

Das die Funktionswerte und die Steigungen an der Stelle x = 0 übereinstimmen hast du schon in c) und d) gezeigt. Damit bist du für e) auch schon fertig.

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Also heißt "berühren" hier das der Funktionswert und die Steigung am Punkt gleich sein muss ?

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Genau.

Die Definition finde ich persönlich etwas gewöhnungsbedürftig. Das bedeutet das die graphen

y = x^3 und y = 0 sich im Ursprung berühren.

Wikipedia ist dort eh etwas ungenau weil dort vom Punkt a gesprochen wird. a ist aber eigentlich nur die Stelle.

Ich persönlich habe bei c) die Funktionen gleichgesetzt und gezeigt das man an der Stelle 0 eine doppelte Nullstelle hat. Damit hat man einen gemeinsamen Punkt und wegen der doppelten Nullstelle einen Berührpunkt.

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Aber bei c) soll man dies doch für alle Graphen zeigen.. wie kann man denn alle Werte a>0 gleichsetzen ?

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c)
fa(x) = fb(x)
-a·x^2 + 6·x = -b·x^2 + 6·x
x^2·(b - a) = 0 --> x = 0 für a ≠ b

f(0) = 0
Alle Graphen enthalten als einzigen gemeinsamen Punkt den Ursprung P(0 | 0).

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Ahh ok.. naja meine Fragen sind jetzt aufjedenfall geklärt, wie man mit solchen Kurvenscharen umgeht.

Danke aufjedenfall dafür!! :)