Berechne das maximale Volumen eines Quaders.

Question

Ein Draht ist 36 cm lang. damit soll ein Quader gebaut werden, die Grundfläche soll aber ein Quadrat sein. stelle die gleichung dafur auf und gib den maximalen volumen an .

Comments

Ich habe aus 'Quader' als Grundfläche 'Quadrat' gemacht.

Answer 1

Annahme: x = Seite der Grundfläche und h = Höhe,  so gilt

Nebenbedingung: 8x + 4h = 36     d.h.

2x + h = 9

h = 9 -2x

V(x) = x^2 * (9 - 2x)                              |in diesem Ausdruck sollte nur eine Variable stehen.

                                                                     Deshalb habe ich h eingesetzt

V(x) = 9x^2 - 2x^3

V '(x) = 18x - 6x^2                       |  Nullsetzen!

18x - 6x^2 = 0

3x - x^2 = 0                                 |Faktorisieren

x(3-x) = 0                            

x₁ = 0,   x₂ = 3                         zugehöriges h bestimmen

h₁ = 9,     h₂ = 3

Die Lösung mit x=0 cm und h=9 cm liefert ein rel. minimales Volumen

x=3 cm und h = 3 cm sorgt für maximales Volumen.

V_max=V(3) = 3³ cm³  = 27 cm³

Comments

Welche Formel benutze ich beim Nullsetzen ?  Wie komme ich von V nach V" ? Beim Nachvollziehen deiner Lösung hatte ich an dieser Stelle Probleme.

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Da leitet man nach x ab. Das ist Differentialrechnung.

Eine Regel ist

(a xⁿ )'  = na x^n-1    wenn a eine Konstante ist.

Eine andere

(f(x) + g(x))' = f ' (x) + g'(x)

Ansonsten gibt's da noch die Produktregel und die Kettenregel. Sog. Ableitungsregeln.

 

Man berechnet mit der Ableitung die Steigung an jeder Stelle x.

Wenn diese Steigung 0 ist, liegt eine Stelle mit horizontaler Tangente vor.

Das kann die Stelle mit einem lokalen Maximum, Minimum oder ein sog. Terrassenpunkt sein.

 

 

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Wenn du V(x) aufzeichnest, siehst du im ersten Augenblick eigentlich nicht, dass die Extremalstellen 'abgerundet' sind. Du musst dir vorstellen, dass die Kurve bei x=0 und x=3 waagrecht verläuft.

 

Du kannst bei deinem Beispiel allerdings auch argumentieren, dass aus Symmetriegründen die Lösung, die am kugelähnlichsten ist (hier der Würfel) das maximale Volumen hat. Das ist dann allerdings kein verallgemeinerbares Verfahren.

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Ich bedanke mich für die ausgezeichnete Erlaeuterung. Mfg Geli