Liebe Cäcilia ; Ich sage es immer wieder; als erstes musst du die Parameterform ( PF ) der Ebene in ihre Koordinatenform ( KF ) umrechnen. Das geschieht über eine Determinante. Ich erklär dir das jetzt mit allgemeiner AGULA . Solltest du allerdings ===> Kreuzprodukt drauf haben, melde dich nochmal.
Die Ebene hat die beiden Basisvektoren
u := Q - P = ( 2 | 1 | 0 ) ( 1a )
v := R - P = ( 1 | 1 | 1 ) ( 1b )
Einen Richtungsvektor darfst du umnormieren; daher lasse ich in ( 1b ) die ganzen Minuszeichen weg. Dann lautet die PF offenbar
E ( r ; s ) = P + r u + s v =: P0 € E | - P ( 2 )
Das ganze, was wir hier machen, ist ein Vexierspiel zwischen den Begriffen UnBESTIMMTE und Unbekannte. Unter P0 sollst du dir einen unbestimmten Punkt der Ebene vorstellen
P0 := ( x | y | z ) ( 3 )
Und in ( 2 ) habe ich wie üblich den Umformungsschritt vermerkt.
r u + s v = P0 - P = ( x - 1 | y | z ) ( 4 )
Und jetzt drehe ich die ganze Argumentation um. Ich sage nein, den Punkt P0 haben wir mit Pattex fest geklebt; P0 ist eine vorgegebene Konstante. Dann auf einmal verwandeln sich r und s in Unbekannte; und ( 4 ) ist ein LGS zur Bestimmung von r und s .
Die Koeffizientenmatrix ( KM ) dieses LGS ist vom Format 3 X 2 , und ihr ===> Rang ist 2 . ( Zwei unabhängige Spaltenvektoren u und v , die die Ebene E aufspannen. )
Dann ist aber die ===> erweiterte KM von ( 4 ) QWUADRATISCH vom format 3 X 3 ; ihr Rang ist eben Falls 2 .
Ihre DETERMINANTE VERSCHWINDET .
Warum Rang 2 ? Lösbarkeit von ( 4 ) heißt doch gerade: Die rechte Seite von ( 4 ) muss darstellbar sein als Linearkombination von u und v .
det ( u | v | P0 - P ) = 0 ( 5 )
Man kann dies auch einfacher sagen; anschaulich bedeutet eine Determinante ein Spatvolumen. IQ-Test
" Quadrat verhält sich zu Rechteck wie Würfel zu? Zu quader. "
" Rechteck verhält sich zu Parallelogramm wie Quader zu? Zu Spat. "
Das LGS ( 4 ) sagt aus, dass diese drei Vektoren in deiner Determinante komplanar sind; wenn drei Vektoren in einer Ebene liegen, ist das von ihnen aufgespannte Volumen gleich Null.
Unser Musiklehrer Pauli machte mit uns übrigens exorbitant viel Teorie.
" Welchen Notenwert hat der Pauli? "
" Halbe; hohler Kopf mit Hals ... "
Und dann hatte der immer den Spruch drauf
" So. Das war die Teorie; und jetzt kommt die Praxis. "
Bei Lichte besehen ist eine Determinante weiter nix wie eine Tabelle, die du nur richtig füllen musst mit den Angaben aus ( 1ab;3;4 )
| 2 1 x - 1 |
det = | 1 1 y | = ( 6a )
| 0 1 z |
= ( 1 * 1 - 1 * 0 ) ( x - 1 ) + ( 1 * 0 - 2 * 1 ) y + ( 2 * 1 - 1 * 1 ) z = 0 ( 6b ) ( Onkel Sarrus )
= x - 2 y + z = 1 ( 6c )
( Probe für P , Q und R ! )
Um dir die Sache schmackhaft zu machen; hier wird nicht mit drei, sondern nur mit einer Unbekannten gerechnet; an der Ebene is ja nix mehr unbekannt. Von dem Mathechef übernehme ich weiter nix als die Gerade; schau mal her:
x = 8 + 2 r ; y = - 9 - 3 r ; z = 11 + 4 r ( 7a )
Und jetzt ganz naiv ( 7a ) einsetzen in ( 6c )
8 + 2 r + 18 + 6 r + 11 + 4 r = 12 r + 37 = 1 ===> r = ( - 3 ) ( 7b )
Jetzt diesen r-Wert einsetzen in ( 7a ) für den Durchstoßpunkt
( x | y | z ) = ( 2 | 0 | - 1 ) ( 7c )
Unser gefürchteter Scientologe " Rolf Thierbach " hätte gesagt
" Meine Herren; das war alles ... "
