Beweis für Unerfüllbarkeit eines relationalen Ausdrucks mit "Full-outer-join": a ⟗ b = a x b

Question

Wie gehe ich vor, um zu beweisen, dass die Identität

a ⟗ b = a x b

im allgemeinen falsch ist?

Man soll ein Gegenbeispiel mittels zweier Relationen a und b mit den Relationenformaten A(x, y) und B(y,z) liefern.

Präzision: Dieses Zeichen ⟗ ist ein sogenannter "Full-outer-join". "x" soll das Kreuzprodukt sein.

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Beweis durch Gegenbeispiel

Um zu beweisen, dass die Identität \(a \,⟗\, b = a \times b\) im allgemeinen falsch ist, betrachten wir die Definitionen von Full-outer-join (\(⟗\)) und des Kreuzprodukts (\(×\)) zwischen zwei Relationen \(a\) und \(b\).

- Full-outer-join (\(⟗\)) kombiniert alle Zeilen der beiden Relationen \(a\) und \(b\), unabhängig davon, ob eine Übereinstimmung zwischen den Relationen existiert. Zeilen, die in einer Relation keine Übereinstimmung finden, werden in das Ergebnis aufgenommen, wobei die fehlenden Werte mit NULL gefüllt werden.

- Kreuzprodukt (\(×\)) erzeugt eine Kombination jeder Zeile der ersten Relation \(a\) mit jeder Zeile der zweiten Relation \(b\), unabhängig von irgendwelchen Übereinstimmungen. Das resultierende Set hat die Kartesische Produktgröße der beiden Sets, basierend auf der Anzahl der Einträge in \(a\) und \(b\).

Konstruieren der Gegenbeispiel-Relationen

Um ein Gegenbeispiel zu präsentieren, definieren wir:

- Relation \(a\) mit dem Schema \(A(x, y)\) und den Tupeln:
- (1, 2)
- (3, 4)

- Relation \(b\) mit dem Schema \(B(y, z)\) und den Tupeln:
- (4, 5)
- (6, 7)

Berechnung von \(a ⟗ b\)

Da es keine übereinstimmende \(y\)-Werte zwischen \(a\) und \(b\) gibt, würde der Full-outer-join folgende Tupeln erzeugen:
- (1, 2, NULL, NULL) — von \(a\), keine Übereinstimmung in \(b\)
- (3, 4, NULL, NULL) — von \(a\), keine Übereinstimmung in \(b\)
- (NULL, NULL, 4, 5) — von \(b\), keine Übereinstimmung in \(a\)
- (NULL, NULL, 6, 7) — von \(b\), keine Übereinstimmung in \(a\)

Berechnung von \(a \times b\)

Das Kreuzprodukt erzeugt jede mögliche Kombination von Tupeln aus \(a\) und \(b\), d.h.:
- (1, 2, 4, 5)
- (1, 2, 6, 7)
- (3, 4, 4, 5)
- (3, 4, 6, 7)

Vergleich und Schlussfolgerung

Es wird ersichtlich, dass \(a \,⟗\, b\) und \(a \times b\) verschiedene Ergebnissets erzeugen. Während \(a \times b\) jede mögliche Kombination der Elemente beider Relationen erzeugt, kombiniert \(a \,⟗\, b\) die Relationen auf eine Weise, die auch nicht-übereinstimmende Zeilen berücksichtigt, indem es fehlende Werte mit NULL auffüllt, anstatt eine kombinierte Darstellung jeder Zeile aus beiden Relationen zu erstellen.

Somit ist die Identität \(a \,⟗\, b = a \times b\) falsch, wie durch das präsentierte Gegenbeispiel bewiesen.