Wieso wird Epsilon so berechnet ?

Question

Also ich habe hier die Gleichung  $$ \lim\limits_{x\to\infty} \frac{x+5}{3x-3} = \frac{1}{3} $$ Dies verstehe ich noch. Da m = n gilt : {Koeffizient von x} durch {Koeffizient von x}

Ok kein Problem, nun kommt aber folgende Rechnung die ich nicht nachvollziehen kann :

$$| \frac{x+5}{3x-3} - \frac{1}{3}| = |\frac{x+5-(x*1)}{3x-3} | = |\frac{6}{3x-3}=|\frac{2}{x-1}|= ε $$ (Bitte beachten : x steht hier für ein x mit einen Strich oben drüber, ich glaube man nennt das auch "x quer". Ich habe das nur leider nirgendswo gefunden bei Symbolen.)

Kann mir jemand hier Schritt für Schritt erklären was genau gemacht wird und wieso das am Ende zu Epsilon führt ? Ich verstehe es einfach nicht.

Answer 1

für das  *  in der Klammer bei der Gleichungskette muss  -  stehen.

Die Brüche im Betrag werden gleichnamig gemacht.

Wegen 3x - 3 = 3·(x-1)  muss dabei 1/3 auf  (x-1) / ( 3·(x-1) )   erweitert werden.

Nachtrag:

Aus  | 2 / (x-1) |  <  ε       ( ε∈ℝ⁺ )

kannst du dann durch Auflösen nach x  zu jedem beliebigen ε  ein x(ε) ausrechnen, so dass für x ≥ x(ε)  die Ungleichung  | f(x) - 1/3 | < ε  gilt.

Gruß Wolfgang