Peano Axiom, Beweis a*b=1, wenn a=1 und b=1

Question

Beweisen Sie mit Hilfe der Peano-Axiome folgende Aussage: Sind a, b ∈ ℕ mit a·b=1, dann gilt a = b = 1.

Die Aussage ist so einleuchtend, dass es mir schwer fällt, sie zu beweisen.

a und b können nicht Null sein, es gilt nämlich: 0 · n = 0 (dies ist uns gegeben)

Setzen wir nun a = 1 und a < b:

b ist damit der s-te Nachfolger von a: also a * * * (s-mal),

wobei

a* = a + 1,

a** = a+1+1

usw. ist.

Daraus folgt a · a* = (a · a) + a.

Weiter komme ich leider nicht mehr... ich wollte es zu einem Widerspruch führen.

Kennt einer vielleicht einen einfachen Beweis für diese Aussage?

Answer 1

Hallo

1. a,b≠0

1=a*b=(a-1)*b+b

Fallunterscheidung a=1 folgt b=1,

 a>1 also a-1>0 , a-1=c>0

folgt 1=c*b+b>=b,  Widerspruch zu b>0 also a=1

Gruß lul