Wenn die in der Menge drin ist, wie kann das dritte Peano Axiom erfüllt werden?

Question

Aufgabe:

Menge M := {0, 1, −1, 2, −2, 3, −3, 4, −4, ...} . Gebe an, welche Elemente von M welche Nachfolger haben, so dass :

a.) M nur das Peano-Axiom (P1) erfüllt

b.) M nur die Peano-Axiome (P1) und (P2) erfüllt

c.) M nur die Peano-Axiome (P1), (P2) und (P3) erfüllt

d.)  M alle Peano-Axiome (P1), (P2), (P3) und (P4) erfullt.

Peano-Axiome:
• Es gibt ein Element von N, welches wir 1 nennen.                                                           (P1)
• Jedes Element n ∈ N hat genau einen Nachfolger n′ ∈ N,                                               (P2)
wobei zwei verschiedene Elemente von N immer verschiedene Nachfolger haben.
• 1 ist nicht Nachfolger eines Elements von N.                                                                   (P3)
• N ist die kleinste Menge mit den Eigenschaften (P1), (P2) und (P3).                              (P4)

Problem/Ansatz:

… Was mich triggert ist, die 0 in der Menge. Wenn die in der Menge drin ist, wie kann das dritte Peano Axiom erfüllt werden? Denn P3 sagt mir, 1 ist nicht Nachfolger eines Elements von N(natürliche Zahlen). Und in dem Fall ist doch 1 der Nachfolger unzwar von 0 oder nicht ? Klar ist es umstritten ob 0 eine natürliche Zahl ist, aber angenommen sie ist eine. :) Vielleicht hat jemand eine Idee

Answer 1

1 ist nicht Nachfolger eines Elements von N.

Damit ist nicht die 1 gemeint, die du in der Menge M siehst.

Jedes Element aus M, dass nicht Nachfolger eines Elements ist, kann die Rolle der 1 aus den Peano-Axiomen übernehmen.