schaue Dir an, wie sich bestimmte Größen von den Summanden ändern. Z.B. der Nenner \(N\) hat die Folge $$2, \, 3, \, 4,\, 5,\, \dots \,100$$also einfach 'zählend' beginnend mit 2. Mal angenommen der erste Summand mit dem Nenner 2 habe den Index \(i=1\), dann hat der Nenner \(N_i\) die Form \(N_i=i+1\).
Der Exponent \(E\) läuft so wie $$3, \, 5,\, 7,\, 9, \, \dots \, 199 $$ Der Abstand zwischen zwei Elementen der Folge ist immer 2. Demnach wachsen die Elemente doppelt so schnell wie ein Index \(i\) - also mit \(2i\). Damit es schlussendlich passt, muss noch 1 addiert werden: \(E_i = 2i+1\). Bleibt noch das alternierende Vorzeichen \(V\) . Dies erreicht man durch den Term \((-1)^i\). Da hier aber das Vorzeichne bei \(i=1\) positiv ist, addiert (oder subtrahiert) man noch 1 - also \(V_i=(-1)^{i+1}\). Macht zusammen: $$\sum_{i=1} V_i \frac{x^{E_i}}{N_i} = \sum_{i=1} (-1)^{i+1} \frac{x^{2i+1}}{i+1}$$ Es fehlt noch das Ende der Folge - bzw. der Index \(n\) , mit dem die Folge endet. Die Bedingungen sind: $$N_n = 100, \quad E_n=199, \quad V_n = +1$$ \(n=99\) erfüllt alle diese Bedingungen. Folglich ist das Ergebnis: $$ \frac{x^3}{2} - \frac{x^5}{3} + \frac{x^7}{4} - \frac{x^9}{5} + \dots + \frac{x^{199}}{100} = \sum_{i=1}^{99} (-1)^{i+1} \frac{x^{2i+1}}{i+1}$$
