Beweisen der Ungleichung an ≤ 3 durch vollständige Induktion

Question

die Aufgabe lautet:

Beweisen Sie durch Vollständige Induktion, dass gilt:

a_n ≤ 3

n ∈  natürlichen Zahlen; n < 0

a_n ist rekursiv definiert mit:      a₁=1;

                                                a_n=√(2*a_n-1+6)  -1 für n = 2,3,4....

Ich habe nun damit begonnen zu zeigen, dass diese Behauptung für das kleinst mögliche n zutrifft:

a₁=1    1 <=  3

Im nächsten Schritt habe ich damit begonnen: a_n+1=√(2*a_n+6)-1

Das ganze umgestellt zu:  ((a_n+1+1)²-6)*1/2  = a_n

Da nun gilt a_n <= 3 ist meine Behauptung bewiesen oder irre ich mich hier?

.

Answer 1

Beim Induktionsschritt brauchst du doch als Ergebnis a_n+1 < 3.

Also  √(2a_n+6) - 1 < 3

<=>  √(2an+6)  < 4  alles positiv, also quadrieren

<=>  2an+6  <  16

<=>  2an <  10

<=>  an <  5

Und wegen der Induktionsannahme  an<3 ist das erfüllt.

 q.e.d.

Comments

es gilt doch zu beweisen, dass  a_n+1 <=3 oder nicht?

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Ja, allerdings unter der Annahme, dass a_n ≤ 3 schon gilt.