Mathe Rätsel: Eine auf 7 endende sechsstellige Zahl mit 5 multiplizieren

Question

Mein Sohn erhielt als Hausaufgabe, zwei Produkte schriftlich auszurechnen. Er musste eine auf 7 endende sechsstellige Zahl mit 5 multiplizieren, und zu seiner großen Verwunderung stellte er fest, dass sich das Resultat aus der ersten Zahl dadurch ergab, dass man die an letzter Stelle stehende Sieben an den Anfang stellte.

Noch größer war seine Verwunderung, als sich herausstellte, dass auch das zweite Produkt der Hausaufgabe so ähnlich beschaffen war. Hier musste er nämlich eine mit 1 beginnende sechsstellige Zahl mit 3 multiplizieren, und das Resultat ergab sich dadurch, dass man die 1 an das Ende Stellte.

Wie lautete die Hausaufgabe?

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Vom Duplikat:

Titel: Mathe Rätsel: Die Hausaufgabe meines Sohnes

Stichworte: rätsel

Mein Sohn erhielt als Hausaufgabe, zwei Produkte schriftlich auszurechnen. Er musste eine auf 7 endende sechsstellige Zahl mit 5 multiplizieren, und zu seiner großen Verwunderung stellte er fest, dass sich das Resultat aus der ersten Zahl dadurch ergab, dass man die an letzter Stelle stehende Sieben an den Anfang stellte.

Noch größer war seine Verwunderung, als sich herausstellte, dass auch das zweite Produkt der Hausaufgabe so ähnlich beschaffen war. Hier musste er nämlich eine mit 1 beginnende sechsstellige Zahl mit 3 multiplizieren, und das Resultat ergab sich dadurch, dass man die 1 an das Ende Stellte.
Wie lautete die Hausaufgabe ?

– Formulieren Sie die beiden Teilaufgaben des Rätsel möglichst präzise.

Answer 1

eine auf 7 endende Zahl \(z = 10x + 7\) mit \(x \in \mathbb{N}_0\) mit 5 multiplizieren gibt eine 6-stellige Zahl:

$$\begin{aligned}(10 x+ 7) \cdot 5 &= 7\cdot 10^5 + x \\ 50 x - x &= 700000 - 35 \\ 49x &= 699965 \\ x &=  14285\end{aligned}$$ $$\Rightarrow z = 10x+7 = 142857$$

eine mit 1 beginnende sechsstellige Zahl mit 3 multiplizieren, und das Resultat ergab sich dadurch, dass man die 1 an das Ende Stellte.

$$ \begin{aligned}(10^5 + x)\cdot 3 &= 10x + 1 \\ 7x &= 299999 \\ x &= 42857 \end{aligned}$$ $$\Rightarrow z = 10^5 + x = 142857 $$ Hausaufgabe: Multipliziere 142857 mit 5 und mit 3.

Comments

Kurz, knackig, elegant. Wow!

War grad am Knoblen und hab es erst gar nicht mathematisch versucht. Auf 142857 bin ich aber auch recht schnell gekommen (für ersteres)^^.

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Kurz, knackig, elegant. Wow!

Danke :)

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Schließe mich Unknown an, habs etwas umständlicher gemacht

\(Zx7 \, :=  \, 10^{5} \; a5 + 10^{4} \; a4 + 10^{3} \; a3 + 10^{2} \; a2 + 10 \; a1 + 7\)

\(Z7x \, :=  \, 10^{5} \cdot 7 + 10^{4} \; a5 + 10^{3} \; a4 + 10^{2} \; a3 + 10 \; a2 + a1\)

\(\frac{5 \; Zx7 - Z7x}{49}=10000 \; a5 + 1000 \; a4  + 100 \; a3  + 10 \; a2  + a1    - 14285 = 0\)

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Könntest du näher erläutern wie du auf deine Anfangs Gleichung gekommen bist?

Und könnte ich nicht theoretisch einfach die Zahl 140007 nehmen? Dann würde ja auch die Sieben am Anfang stehen?

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Könntest du erläutern wie du auf den zweiten Teil der Gleichung kommst? Also das 7•10^5 +x, bzw. den zweiten Teil der Aufgabe?

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Könntest du näher erläutern wie du auf deine Anfangs Gleichung gekommen bist?

Könntest du erläutern wie du auf den zweiten Teil der Gleichung kommst? Also das 7•10^{5} +x

Lt. Aufgabenstellung ist eine 6-stellige Zahl \(z=abcde7\) mit folgender Eigenschaft gesucht: $$abcde7 \cdot 5 = 7abcde$$ wobei \(a\) bis \(e\) einzelne Ziffern - also Zahlen von \(0\) bis \(9\) - darstellen. Hier habe ich jetzt ganz allgemein \(x=abcde\) gesetzt. So kann man \(z\) auch schreiben als: $$z= abcde7 = abcde0 + 7 \\ \quad = 10 \cdot abcde + 7 = 10x+7$$ Und nach der Multiplikation von \(z\) mit 5 soll das Ergebnis eine 6-stellige Zahl sein, die mit der Ziffer \(7\) beginnt und deren restliche 5 Ziffern wieder \(abcde=x\) sind. Also ist $$z \cdot 5 = 7abcde = 700000 + abcde = 700000 + x\\ \Rightarrow z \cdot 5 = (10x + 7) \cdot 5 = 7\cdot 10^5 + x$$

Und könnte ich nicht theoretisch einfach die Zahl 140007 nehmen? Dann würde ja auch die Sieben am Anfang stehen?

Ja - die \(7\) würde am Anfang stehen, aber die restlichen 5 Ziffern stimmen nicht mehr mit der Ausgangszahl überein: $$140007 \cdot 5 = 700035 \quad 14000 \ne 00035 = 35$$ damit erfüllt \(140007\) nicht die in der Aufagbestellung gestellten Bedingung, dass die Ziffer \(7\) von hinten nach vorn wandert und der Rest der Zahl \(z\) unverändert bleibt - was implizit gefordert ist.

... den zweiten Teil der Aufgabe?

Das Shema ist das gleiche wie im ersten Teil. Eine sechstellige Zahl \(z\) mit einer \(1\) am Anfang lässt sich so schreiben: $$z = 1abcde = 100000 + abcde = 100000 + x$$ wenn man die Ziffernfolge \(abcde=x\) setzt. In diesem Fall soll durch Multiplikation mit \(3\) die \(1\) vom Anfang an das Ende wandern: $$z \cdot 3 = 1abcde \cdot 3 = abcde1 \\ \quad = abcde0  +1 = 10 \cdot abcde + 1$$ Ich setze wieder \(abcde=x\): $$z \cdot 3 = (100000 + x) \cdot 3 = 10\cdot x + 1$$

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Danke dir für die Erläuterung

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Schließe mich hat. Hat mir gut geholfen. Danke

Answer 2

142857·5 = 714285

142857·3 = 428571

Die Aufgabe stammt aus

https://www.amazon.de/mn/search?url=search-alias%3Daps&field-keywords=9783827425928

Answer 3

Nicht ganz so verwunderlich ist der Effekt, wenn (etwa im Rahmen der Teilbarkeitslehre der Klasse 6), die Ziffernfolge der Periode beim Teilen durch 7 betrachtet wird. Es ist$$\dfrac 17=0.\overline{142857}\\[16pt]\dfrac 57=0.\overline{714285}\\[16pt]\dfrac 37=0.\overline{428571}$$

Comments

Um die Aufgabe zu lösen genügt also die simple Rechnung

999999/7 = 142857

Man vergleiche dazu mal Schülbücher der Klasse 6 oder früher.

Der Grund für diesen Effekt liegt darin, dass die Zahl 7 beim Teilen im 10er-System die maximal mögliche Periodenlänge von 6 Ziffern hat.