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Hallo :)
Ich sollte bei der Aufgabe die Funktionen aufsteigend nach ihrem asymptotischen Wachstum anordnen. Unten findet ihre meine Lösung. Könnte mir jemand sagen, ob das stimmt? $$ (\log{n})^2 < n \log{n} < 2 \sqrt{2n} <2^{\sqrt{n}} <\sqrt{n^7+2n} < 3n^2+ 2n+\log{n}$$

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Warum sollte denn √n7 < n2 sein?

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wenn du dir nicht sicher sein solltest kannst du es immernoch versuchen zu beweisen (Induktion). $$ n\log(n)< 2\sqrt{2n} $$ ist bereits falsch. Für n= 12 wird das zum Beispiel deutlich.

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Wie würdest du die sonst anordnen ?

Du kannst dir mal eine Tabelle anfertigen, in der Form:

<$$ \log(n)^2$$$$ n·\log(n) $$$$ 2\cdot \sqrt{2n} $$$$2^{\sqrt{n}}$$$$\sqrt{n^7+2n} $$$$3n^2+2n+\log(n) $$Platz
$$ \log(n)^2$$
-1<n1<n1<n1<n1<n6
$$ n·\log(n) $$

-




$$ 2\cdot \sqrt{2n} $$


-



$$2^{\sqrt{n}}$$



-


$$\sqrt{n^7+2n} $$




-

$$3n^2+2n+\log(n) $$





-

Und so machst du das jetzt Zeile für Zeile. Der Termn, der von den allermeisten überstiegen wird, liegt ganz unten. Das kann man gut durch Lösen (wenigstens näherungsweise ) sehen. Der Gewinner wäre dann eben, derjenige, der von keinem überstiegen wird. Daraus kannst du dann die Ungleichungskette aufstellen. Und um wirklich sicher zu gehen, dass alles passt dann kurz per Indunktion beweisen.

Ich hab versucht das mit Wolfram Alpha zu überprüfen und ich komm damit auf die selbe Lösung :/

Doch also das müsste jetzt aber stimmen

$$ (\log n)^2 < 2\sqrt{2n} < 2^{\sqrt{n}} <n \log(n) < \sqrt{n^7 +2n} < 3n^2+2n+log(n)$$

es stimmt nicht ganz:

$$ \log^2(n)<2\cdot \sqrt{2\cdot n}<n\cdot \log(n)<3\cdot n^2+2\cdot n+\log(n)<\sqrt{n^7+2\cdot n}<2^{\sqrt{n}} $$

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