Beweis durch das Kontrapositionsprinzip

Question

"Wenn a^2 ungerade ist, dann ist a ungerade." Beweisen Sie mittels Umkehrschluss diese Aussage, wobei a∈N sei.

Ich hätte bitte nur einen Ansatz und würde selber mit eurer Hilfe gemeinsam auf die Lösung kommen wollen. Das ist mein aller erster Beweis, den ich mache.

Meine Idee sieht bisher wie folgt aus:

a ∈ ℕ : a^2 ungerade (f(-x)=f(x)) ⇒ a ungerade (f(-x)=f(x))

Ich nehme also an, dass wenn ¬B wahr ist, dass ¬ A wahr ist.

¬B= a ist nicht ungerade = gerade

¬A= a^2 ist nicht ungerade = gerade

heißt

a ∈ ℕ: ¬B => ¬ A

a ∈ ℕ: a gerade => a^2 gerade

ich kann jede beliebige natürliche Gerade Zahl darstellen durch: ungerade Zahl + 1 oder gerade Zahl geteilt durch 2

diese ungerade Zahl nenne ich m

eine natürliche ungerade Zahl kann ich durch  den Ausdruck "gerade Zahl - 1"darstellen bedeutet also

⇒ ∃ a ∈ ℕ: a = (n-1)+1 oder ⇒ ∃ a ∈ ℕ: a=(n-1)*2/gerade Zahl

Stimmt der Ansatz bisher?

Comments

a ∈ ℕ : a² ungerade (f(-x)=f(x)) ⇒ a ungerade (f(-x)=f(x))

Was soll den das mit dem f?

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Ausdruck der Symmetrieeigenschaften:

für gerade Funktionen gilt: f(-x)=f(+x)

für ungerade Funktionen gilt: f(-x)=-f(+x)

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Erstens gilt für ungerade Funktionen \(f(-x)=-f(x)\) und zweitens hat das hier absolut nichts zu suchen. Hier geht es um natuerliche Zahlen und nicht um Funktionen.

Answer 1

Ich hätte bitte nur einen Ansatz

Ansatz ist "Sei a gerade." Du musst zeigen, dass dann a² gerade ist. Das geht so:

        Wenn a gerade ist, dann ist a = 2·m für ein geeignetes m∈ℕ.

        Damit ist dann a² = a·a = 2·m·a auch gerade.

Comments

Kontrapositionsprinzip und Umkehrschluss sind doch dasselbe, oder?

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Ja, Kontrapositionsprinzip und Umkehrschluss sind dasselbe.

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"Ja, Kontrapositionsprinzip und Umkehrschluss sind dasselbe. "

das würde ich so nicht unterschreiben, Oswald (oder ist es "oswald"?)

mach aus dem prinzip ein substantiv. dann vielleicht.

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ich kann jede beliebige natürliche Gerade Zahl darstellen durch: ungerade Zahl + 1 oder gerade Zahl geteilt durch 2

diese ungerade Zahl nenne ich m

eine natürliche ungerade Zahl kann ich durch  den Ausdruck "gerade Zahl - 1"darstellen bedeutet also

⇒ ∃ a ∈ ℕ: a = (n-1)+1 oder ⇒ ∃ a ∈ ℕ: a=(n-1)*2/gerade Zahl

Wäre das hier falsch?

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a = 2·m m∈ℕ

würde nicht für alle beliebig natürliche Zahlen funktionieren, oder irre ich mich da?

2*m(ungerade Zahl)=

2*1=2

2*3=6

aber ich könnte nicht irgendwie 2*m=4 rechnen, dann müsste m=2 eine gerade Zahl annehmen

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a = 2·m m∈ℕ würde nicht für alle beliebig natürliche Zahlen funktionieren.

Nein, würde es nicht. Es würde nur für alle geraden natürlichen Zahlen funktionieren.

dann müsste m=2 eine gerade Zahl annehmen

Es ist kein Problem, ob m gerade oder ungerade ist.

2·m·a ist gerade, weil es durch 2 teilbar ist:

        (2·m·a) : 2 = m·a.

        m·a ∈ ℕ weil m ∈ ℕ und a ∈ ℕ.

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Wäre das hier falsch?

Falsch wäre es nicht. Ich sehe nur nicht, inwiefern das zielführend ist.

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Warum sollte es nicht zielführend sein? Ich habe genau an der Stelle ein Problem eine beliebig natürlich gerade Zahl auszudrücken.

Es gibt nämlich verschiedene Möglichkeiten:

m (ungerade Zahl) + 1

dann müsste man nochmal diese ungerade Zahl darstellen können

z.b. durch n (gerade Zahl) -1

⇒ ∃ a ∈ ℕ: a = (n-1)+1

oder

gerade Zahl/2

gerade Zahl definiert durch "n (ungerade Zahl) - 1"

⇒ ∃ a ∈ ℕ: a=(n-1)*2/gerade Zahl

oder

2*m (ungerade Zahl)

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Warum sollte es nicht zielführend sein?

Ich habe nicht gesagt, dass es nicht zielführend ist.

Ich habe gesagt, dass ich es nicht sehe.

∃ a ∈ ℕ: a = (n-1)+1

Ich übersetze das mal ins deutsche:

    "Es gibt eine natürliche Zahl, genannt 'a', die die Gleichung a = (n-1)+1 erfüllt."

Diese Aussage ist vollkommen zutreffend, wenn n eine natürlcihe Zahl ist. Dann ist nämlich a = n.

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Warum eignet sich a=2*m besser als ∃ a ∈ ℕ: a = (n-1)+1?

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& mit a=2m komme ich auf

⇒ ∃ m ∈ ℕ: a = 2*m

m ist eine beliebige ungerade, natürliche Zahl

für a^2 gerade setze sich ein

a^2=(2m)^2=4m^2

4m^2 := k

a^2=k

⇒ ∃ k ∈ ℕ: a^2= k

⇒ a^2 ist gerade

ich hätte aber auch mit ⇒ ∃ m ∈ ℕ: a = x(irgendeine gerade Zahl) *m verfahren könen? z.B.

a^2=(4m)^2=16m^2

16m^2 := k

a^2=k

⇒ ∃ k ∈ ℕ: a^2 = k

⇒ a^2 ist gerade

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Stimmt das so?

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für a² gerade setze sich ein

...

⇒ a² ist gerade

Soweit ich das nachvollziehen konnte, hast du gerade gezeigt: "Wenn a² gerade ist, dann ist a² gerade."

ich hätte aber auch mit ⇒ ∃ m ∈ ℕ: a = x(irgendeine gerade Zahl) *m verfahren könen?

Nein. Es gibt gerade Zahlen, die durch keine andere gerade Zahl außer 2 teilbar sind.

Der vollständige Beweis ist tatsächlich das, was ich in der Antwort schon geschrieben habe: "Wenn a gerade ist, dann ist a = 2·m für ein geeignetes m∈ℕ. Damit ist dann a² = a·a = 2·m·a auch gerade. "

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Behauptung:

a∈ℕ: a2 ungerade => a ungerade

                  A                          B


Ich soll durch Umkehrschluss zeigen:


¬B = ¬ A

a∈ℕ: a gerade => a2 gerade

⇒ ∃m∈ℕ: a= 2*m

2*m weil ich jede beliebige natürliche gerade oder ungerade Zahl mit 2 multiplizieren kann und immer eine gerade Zahl erhalte

darauf folgt für

a^2

=> a^2= (2m)^2= 4m^2= 2*2m^2

2*2m^2:=k

=> a^2=k  gerade q.e.d

weil wenn ich für m eine beliebig natürliche Zahl einsetze z.B. (2*2)2=16 erhalte ich immer eine gerade Zahl

Rückschluss: Wenn a2 gerade ist, ist a gerade und umkehrschlüssig a^2 ungerade=> a ungerade

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Ich soll durch Umkehrschluss zeigen:

¬B = ¬ A

Du sollst A ⇒ B durch Umkehrschluss zeigen.

Der Umkehrschluss von A ⇒ B ist ¬B ⇒ ¬ A.

Also sollst du A ⇒ B zeigen indem du ¬B ⇒ ¬ A zeigst.

a∈ℕ: a gerade => a2 gerade

Es ist mir nicht klar, was du hier machst. Hast du hier eine neue Zahl a definiert? Oder ist das ein Teil der Voraussetzungen für die nachfolgende Argumention? Ein Beweis besteht im Wesentlichen aus eine Argumention in deutscher Sprache. Lediglich wo die Lesbarkeit oder Genauigkeit profitiert, sollte auf mathematische Ausdrücke zurückgegriffen werden.

2*m weil ich jede beliebige natürliche gerade oder ungerade Zahl mit 2 multiplizieren kann und immer eine gerade Zahl erhalte

Ausschlaggebend ist etwas anderes, nämlich dass jede gerade Zahl durch Multiplikation von 2 mit einer natürlichen Zahl entsteht. Vergleiche die Aussagen

1. Jede reelle Zahl kann man quadrieren und immer eine reelle Zahl erhalten.
   
2. Jede reelle Zahl kann man erhalten indem man eine reelle Zahl quadriert.

1. ist offensichtlich richtig, 2. ist falsch.

Fasst man die Multiplikation mit 2 als Funktion f(x) = 2x auf, dann hast du gesagt, dass der Defintionsbereich die Menge der natürlichen Zahlen ist. Benötigt wird aber, dass der Wertebereich die Menge der geraden Zahlen ist.

2*2m²:=k

Der Doppelpunkt kommt auf die Seite des neuen Objektes: 2*2m² =: k.

Außerdem brauchst du hier keine neue Variable einführen, weil mit

        "a²= (2m)²= 4m²= 2*2m²"

ist eigentlich alles gesagt, was du sagen wolltest.

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a∈ℕ: a gerade => a2 gerade

sollte eigentlich: a∈ℕ: a gerade => a^2 gerade

lauten. War ein Tippfehler.

2*m weil ich jede beliebige natürliche (gerade oder ungerade) Zahl mit 2 multiplizieren kann und immer eine gerade Zahl erhalte

m= gerade oder ungerade Zahl= natürliche Zahl (?)

Answer 2

deine Argumentation führt leider nicht zum Ziel. Vielleicht meinst du im Kopf das Richtige. Aber ein Beweis muss grundsätzlich immer so aufgearbeitet sein, dass er auch von anderen (die sich mit Mathematik befassen) nachvollzogen werden kann. Der Grundbaustein für Beweise sind Definitionen zu verwenden und ggf. noch im Beweis neue Objekte (nur wenn es sinnvoll ist) zu definieren, die einen entscheidenen Fortschritt des Beweises erbringen.

Du hast hier eine Aussage in Form einer Implikation, welche du als Umkehrung beweisen sollst. Statt also A => B zu zeigen, sollst du ¬B => ¬A zeigen.

Aussage A=,,a^2 ist ungerade", Aussage B=,,a ist ungerade"

Negierte Aussagen: ¬A=,,a^2 ist gerade", ¬B=,,a ist gerade".

Insgesamt sollst du also diese Implikation zeigen:,,Wenn a eine gerade Zahl ist, dann ist auch a^2 eine gerade Zahl."

Als Voraussetzung hast du deine gerade Zahl a. Hier brauchst du die Definition einer geraden Zahl. Und mit dieser Difinition arbeitest du, um dann zu zeigen, dass dann a^2 gerade ist.

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Comments

Behauptung:

a∈ℕ: a^2 ungerade => a ungerade

                  A                           B

Ich soll durch Umkehrschluss zeigen:

¬B = ¬ A

a∈ℕ: a gerade => a^2 gerade

⇒ ∃m∈ℕ: a= 2*m

2*m weil ich jede beliebige natürliche gerade oder ungerade Zahl mit 2 multiplizieren kann und immer eine gerade Zahl erhalte

darauf folgt für

a^2

=> a^2= (2m)^2= 4m^2= 2*2m^2

2*2m^2:=k

=> a^2=k gerade q.e.d

weil wenn ich für m eine beliebig natürliche Zahl einsetze z.B. (2*2)^2=16 erhalte ich immer eine gerade Zahl

Rückschluss: Wenn a^2 gerade ist, ist a gerade und umkehrschlüssig a^2 ungerade=> a ungerade

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Das sieht schon im Groben viel besser aus. Versuche mal deine hier aufgestellten Gedankengänge ganz formal hinzuschreiben. Du fängst halt so an: $$ \text{Sei }a\in \mathbb{N}\text{ eine gerade Zahl. Dann gibt es eine Zahl }m\in \mathbb{N}\text{, sodass die Gleichung }\\a=2\cdot m \text{ erfüllt ist. Dann folgt...} $$

Versuche es mal so weiter zu machen.

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Sei a∈N eine gerade Zahl. Dann gibt es eine Zahl m∈N, sodass die Gleichung a=2⋅m erfüllt ist. Dann folgt für a^2 ∈ ℕ, wobei a∈N eine gerade Zahl ist, a^2=(2m)^2=4m^2.

m ∈ ℕ erfüllt die Gleichung a^2=(2m)^2

Wenn man für m eine beliebig natürliche Zahl einsetzen würde und quadriert, erhält man immer eine gerade Zahl, z.B. (2*2)^2=16.

Also ist a^2=k gerade und somit bewiesen, dass wenn a^2 ungerade ist a ungerade ist q.e.d.

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Dann folgt für a2 ∈ ℕ, wobei a∈N eine gerade Zahl ist, a2=(2m)2=4m2.

$$ \text{Dann folgt }a^2=(2\cdot m)^2=4\cdot m^2=2\cdot (2\cdot m^2)\\\text{, was offensichtlich eine gerade Zahl ist}. $$

Also ist a^2 gerade und somit bewiesen, dass wenn a^2 ungerade ist a ungerade ist q.e.d.

Das kannst du dann als Fazit dann noch sagen

Wenn man für m eine beliebig natürliche Zahl einsetzen würde und quadriert, erhält man immer eine gerade Zahl, z.B. (2*2)2=16.

Dann könntest du deinen Beweis mit diesem Beispiel noch abschließend untermauern. Ist aber nicht notwendig.

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Danke Dir für deine Hilfe! Bei diesen Beweisen finde ich es immer hilfreich, wenn man noch zusätzlich Kommentare/ die Gedankenvorgänge aufschreibt.

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Ja, das ist für den Anfang auch ganz sinnvoll zu machen. Nur wenn man es später dann vorzeigt, genügt es vollkommen, nur die wirklich ,,nötigen'' Punkte aufzuzählen.