der Induktionsanfang sollte klar sein. Beim Induktionsschritt nimmst du an, dass die Aussage für ein belibieges, aber festes, n∈ℕ0 die Aussage wahr ist, also:
$$ \sum_{k=0}^{n}k\cdot 2^k = n\cdot 2^{n+1}-2^{n+1}+2\quad (IV) $$
Dann schließt du damit auf die Gültigkeit für n+1, also dass gilt:
$$ \sum_{k=0}^{n+1}k\cdot 2^k = (n+1)\cdot 2^{n+2}-2^{n+2}+2 $$
Das machst du, indem du bei der hier aufgestellten Induktionsbehauptung anfängst und die Summe so umschreibst, sodass du deine IV gewinnst, die du dann einsetzen kannst. Die typische anfängliche Vorgehensweise ist bei der Summe, den n+1 ten Summanden erstmal abzuspalten und hinten dran zu schreiben. Jetzt bist du dran. :)
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