Vollständige Induktion 2^k*k

Question

ich muss folgendes zeigen:

\( \sum_{n=0}^{\infty}{2^k*k} \) = 2^{n+1}*n-2^{n+1}+2 

Das Prinzip der Induktion ist klar, jedoch komme ich beim Induktionsschritt nicht auf das richtige Ergebnis. Kann mir da jemand helfen und zeigen, wie ich umformen muss? 

:)

Answer 1

Ich kann leider nicht sehen, warum der Induktionsschritt bei dir nicht richtig funktioniert.

Comments

Ich habe folgendes und bin mir nicht sicher, wie ich weiter mache.. 

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Kann mir keiner dabei helfen? :(

Answer 2

der Induktionsanfang sollte klar sein. Beim Induktionsschritt nimmst du an, dass die Aussage für ein belibieges, aber festes, n∈ℕ₀ die Aussage wahr ist, also:

$$ \sum_{k=0}^{n}k\cdot 2^k = n\cdot 2^{n+1}-2^{n+1}+2\quad (IV) $$

Dann schließt du damit auf die Gültigkeit für n+1, also dass gilt:

$$ \sum_{k=0}^{n+1}k\cdot 2^k = (n+1)\cdot 2^{n+2}-2^{n+2}+2 $$

Das machst du, indem du bei der hier aufgestellten Induktionsbehauptung anfängst und die Summe so umschreibst, sodass du deine IV gewinnst, die du dann einsetzen kannst. Die typische anfängliche Vorgehensweise ist bei der Summe, den n+1 ten Summanden erstmal abzuspalten und hinten dran zu schreiben. Jetzt bist du dran. :)

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Comments

 

Ja, also das Prinzip ist mir ja klar (ich habe ja auch in dem Beitrag etwas höher meinen Stand geschickt). Leider weiß ich nicht, wie ich da dann weiter rechnen muss.. 

Vielen Dank vorab :)

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Fange doch so an:

$$ \sum_{k=0}^{n+1}k\cdot 2^k =\Bigg(\sum_{k=0}^{n}k\cdot 2^k \Bigg)+(n+1)\cdot 2^{n+1}=... $$

Was kannst du jetzt machen?

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Danke für die Rückmeldung. 
Ich würde jetzt die Summe umschreiben, sodass ich dann 

=n*2^n+(n+1)*2ⁿ⁺¹ hätte. 

Als nächstes:

=n*2^n+n*2ⁿ⁺¹+2ⁿ⁺¹

^{Da hört es dann bei mir aber auch schon wieder auf..} 

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n*2n+(n+1)*2n+1

Wie kommst du darauf? Schreib mal bitte deinen Rechenweg auf:

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Ich habe die Summe falsch berechnet, es müsste als erstes rauskommen: 

= 2^k*k*(n+2)+(n+1)*2ⁿ⁺¹

^{Aber um ehrlich zu sein, weiß ich auch nicht, wie ich hier weiter umformen kann..} 

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= 2k*k*(n+2)+(n+1)*2n+1

Das stimmt so nicht. Ich gebe dir mal einen weiteren Tipp:

$$ \sum_{k=0}^{n+1}k\cdot 2^k =\Bigg(\sum_{k=0}^{n}k\cdot 2^k \Bigg)+(n+1)\cdot 2^{n+1}\\\stackrel{(IV)}{=}(n\cdot 2^{n+1}-2^{n+1}+2)+(n+1)\cdot 2^{n+1}=... $$

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Danke :) Nur eine Frage vorab noch zum Verständnis: Am Ende muss das ganze der Form (n+1)*2ⁿ⁺²-2ⁿ⁺²+2 sein, oder?

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Ja, genauso ist es.

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Also ich habe jetzt eine ganze Menge rumprobiert und komme einfach nicht drauf. Egal wie ich es umforme, es sieht nicht aus wie die das was ich brauche. Zum Beispiel auf die 2ⁿ⁺², das ist mir irgendwie ein Rätsel.

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Was bekommst du denn am Ende raus?

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Also gut, ich habe nochmal probiert und komme nun auf folgendes (bin mir aber nicht sicher, ob das so korrekt ist). 

= (n*2ⁿ⁺¹-2ⁿ⁺¹+2)+(n+1)*2ⁿ⁺¹

= (2n-2)*2ⁿ+2*(n+1)*2ⁿ+2

= n*2ⁿ⁺² + 2

= (n+1)*2ⁿ⁺²-2ⁿ⁺² +2

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Das sieht gut aus. :)