Beweise durch vollständige Induktion dass 1^4+2^4+...+k^4

Question

Aufgabe:

Beweise, dass k∈ℕ Behauptung: ∑i^4

Problem/Ansatz:

ich weiß man soll seine Handschrift mit der eingebauten funktion scannen und als text eingeben aber er erkennt meine furchtbare Handschrift nicht.

An der Stelle an der ich anfange mit Bleistift zu schreiben, bin ich nicht mehr sicher. In der Theorie sollte ich ja die Formel, die ich im Induktionsschluss erhalten habe, beweisen.

Text erkannt:

Devere door \( h \in M: \sum \limits_{i=1}^{n}=1^{4}+2^{4}+3^{4}+\ldots+k^{4}=\frac{n(n+1) \cdot(2 n+1)\left(3^{2}+3 \cdot 1\right)}{30} \) Indubtionkarixic
\( \sum \limits_{i=1}^{n} i^{4}=1^{4}=1 ; \frac{1 \cdot(1+1) \cdot(2 \cdot 1+1) \cdot\left(3 \cdot 1^{2}+3 \cdot 1-1\right)}{30}=7 i \)
Sndutistaniallusi
van \( k \) an \( k+1 \)
\( \begin{aligned} \sum \limits_{i=1}^{k+1} i^{4} &=\frac{(k+1) \cdot(k+2) \cdot(2 k+3) \cdot\left(3 \cdot(k+1)^{2}+3 \cdot(k+1)-1\right)}{30} \\ &=\frac{(k+1) \cdot(k+2) \cdot(2 k+3) \cdot\left(3 k^{2}+6 k+3+3 k+3-1\right)}{30} \\ &=\frac{(k+1)-(k+2) \cdot(2 k+3) \cdot\left(3 k^{2}+4 k+5\right)}{30} \end{aligned} \)
\( 2 u \) zengen:
\( \sum \limits_{i=1}^{k+1} i^{3}=1^{4}+2^{4}+3^{4}+\ldots+k^{4}+(k+1)^{4}=\frac{(k+1) \cdot(k+2) \cdot(2 k+3) \cdot\left(3 k^{2}+9 k+5\right)}{30} \)

Comments

Deine Aussage

Devere door ... Indubtionkarixic ... Sndutistaniallusi

solltest Du nochmals überarbeiten.

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Behauptung:$$\sum\limits_{k=1}^nk^4=\frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30}\eqqcolon S(n)\quad;\quad n\in\mathbb N$$

Verankerung bei \(n=1\):$$\sum\limits_{k=1}^nk^4=\sum\limits_{k=1}^1k^4=1$$$$\frac{n\cdot(n+1)\cdot(2n+1)\cdot(3n^2+3n-1)}{30}=\frac{1\cdot2\cdot3\cdot(3+3-1)}{30}=\frac{30}{30}=1$$Beide Seiten der Behauptung liefern dasselbe Ergebnis\(\quad\checkmark\)

Induktionsschritt von \(n\) auf \(n+1\):

Wir nutzen aus, dass wir die Behauptung bis zum aktuellen \(n\) bereits bewiesen haben und schließen daraus, dass die Behauptung auch für das nächstfolgende \(n\) gilt. Um uns im Induktionsschritt aufwändige Rechnungen zu ersparen, vereinfachen wir zunächst die Summenformel:

$$S(n)=\frac{\overbrace{(n+1)(2n+1)}^{=A}\,\overbrace{n\,(3n^2+3n-1)}^{=B}}{30}=\frac{\overbrace{(2n^2+3n+1)}^{=A}\overbrace{(3n^3+3n^2-n)}^{=B}}{30}$$$$\phantom{S(n)}=\frac{6n^5+9n^4+3n^3+6n^4+9n^3+3n^2-2n^3-3n^2-n}{30}=$$$$\phantom{S(n)}=\frac{6n^5+15n^4+10n^3-n}{30}$$

Damit gehen wir in die eigentliche Rechnung:$$\sum\limits_{k=1}^{n+1}k^4=\sum\limits_{k=1}^{n}k^4+(n+1)^4\stackrel{\text{( Ind.Vor. )}}{=}\frac{6n^5+15n^4+10n^3-n}{30}+\frac{30(n+1)^4}{30}$$$$\phantom{\sum\limits_{k=1}^{n+1}k^4}=\frac{6n^5+15n^4+10n^3-n}{30}+\frac{30(n^4+4n^3+6n^2+4n+1)}{30}$$$$\phantom{\sum\limits_{k=1}^{n+1}k^4}=\frac{6n^5+45n^4+130n^3+180n^2+119n+30}{30}$$$$\phantom{\sum\limits_{k=1}^{n+1}k^4}=\frac{(6n^5+30n^4+60n^3+60n^2+30n+6)+15n^4+70n^3+120n^2+89n+24}{30}$$$$\phantom{\sum\limits_{k=1}^{n+1}k^4}=\frac{6(n+1)^5+(15n^4+60n^3+90n^2+60n+15)+10n^3+30n^2+29n+9}{30}$$$$\phantom{\sum\limits_{k=1}^{n+1}k^4}=\frac{6(n+1)^5+15(n+1)^4+(10n^3+30n^2+30n+10)-n-1}{30}$$$$\phantom{\sum\limits_{k=1}^{n+1}k^4}=\frac{6(n+1)^5+15(n+1)^4+10(n+1)^3-n-1}{30}$$$$\phantom{\sum\limits_{k=1}^{n+1}k^4}=\frac{6(n+1)^5+15(n+1)^4+10(n+1)^3-(n+1)}{30}=S(n+1)\quad\checkmark$$