Beweise q^0 + q^1 + q^2 + q^3 +...+ q^n = (1-q^(n+1))/(1-q) (q ∈ R\{1}) durch vollständige Induktion

Question

Aufgabe:Wie beweise ich die Formel q^0 + q^1 + q^2 + q^3 +...+ q^n = (1-q^{n+1})/(1-q) (q∈R\{1}) durch vollständige Induktion über n ∈ N? (Per Definition gilt q^0 = 1)

Problem/Ansatz:

Ich weiß, dass ich mit Induktionsanfang, Induktionsvoraussetzung, Induktionsschritt usw. vorgehen sollen, doch ich tappe vollkommen im Dunklen wie genau ich das umsetze und ins Besondere wie genau ich überhaupt anfange.

Comments

Die Formel stimmt nicht, wie man erkennt wenn man ein Beispiel mit n=1 rechnet.

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Also beweise ich somit, dass die Formel nicht gilt durch Induktion, richtig?

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Oder Du verwendet die Formel so, wie sie im Original der Aufgabe steht. Ich habe den irreführenden Titel der Frage korrigiert.

Answer 1

Aloha :)

Die \((+1)\) aus deiner Frage muss in den Exponenten, richtig lautet die Formel:$$\sum\limits_{k=0}^nq^k=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}\quad;\quad n\in\mathbb N\quad;\quad q\ne1$$

Verankerung bei \(n=1\):$$\sum\limits_{k=0}^nq^k=\sum\limits_{k=0}^1q^k=q^0+q^1=1+q=\frac{(1+q)(1-q)}{1-q}=\frac{1-q^2}{1-q}=\frac{1-q^{1+1}}{1-q}\quad\checkmark$$

Induktionsschritt \(n\to n+1\):$$\sum\limits_{k=0}^{n+1}q^k=\sum\limits_{k=0}^nq^k+q^{n+1}\stackrel{\text{(Ind.Vor.)}}{=}\frac{1-q^{n+1}}{1-q}+q^{n+1}=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}+\frac{(1-q)q^{n+1}}{1-q}$$$$\phantom{\sum\limits_{k=0}^{n+1}q^k}=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}+\frac{q^{n+1}-q^{n+2}}{1-q}=\frac{1-q^{n+2}}{1-q}\quad\checkmark$$

Comments

DANKE! Jetzt verstehe ich es :)