Differentialgleichung Salzlösung: Gesamtmenge zum Zeitpunkt t

Question

ich habe leider ein Problem, bzw. ich weiß nicht wie ich weitermachen soll oder ob das so richtig ist.

Die Aufgabe:

Ein Tank enthalte 1000 Liter Wasser, in dem 50 kg Salz gelöst sind. Beginnend mit der Zeit
t0 = 0 sollen ständig pro Minute
• 10 Liter der Lösung ausfließen und
• 15 Liter Wasser mit einem Salzgehalt von 3 kg zufließen.

Ein Superrührgerät mische das Ganze sofort und vollständig durcheinander. Wie groß ist der

Salzgehalt im Tank zur Zeit t > 0? Stellen Sie dafür eine DGL auf und lösen Sie das zugehörige
Anfangswertproblem. Sie benötigen die zum Zeitpunkt t im Wassertank befindliche Gesamtmenge
der Lösung in Litern, um die Konzentration der abfließenden Lösung zu bestimmen.

Mein Ansatz:

y(t) sei der Salzgehalt zum Zeitpunkt t. In einem Zeitraum r fließen \( \frac{10}{1000} \)*y(t)*r Salz ab und es fließt 3*r Salz zu. Es folgt das Anfangswertproblem: y´= 3-\( \frac{1}{100} \) *y mit y(0) = 50.

Als erstes finden wir eine Lösung für die homogene DGL y´ = -\( \frac{1}{100} \)*y  . Und zwar ist eine gegeben durch yh(t) =  e^{-\( \frac{t}{100} \)}  

Als nächstes wollte ich die inhomogene DLG lösen nach den Ansatz y(t) = c(t)*yh(t)    mit c´(t) = 3e^{\( \frac{t}{100} \)}   

Hier hatte ich gehofft könntet ihr mir weiterhelfen.

Answer 1

Dein Modell scheint nicht ganz gelungen. Mit der Zeit aendert sich sowohl das Volumen \(V\) der Fluessigkeit im Tank als auch die Masse \(m\) des Salzes im Tank. Das ergibt bei mir erstmal zwei Gleichungen. $$(1)\qquad\dot{V}=a$$ und $$(2)\qquad\dot{m}=-\frac{b}{V}m+c,$$ wobei die Konstanten \(a, b, c\) gegeben sind. (1) kann man für sich alleine loesen und dann in (2) einsetzen. $$(3)\qquad\dot{m}=-\frac{b}{V_0+at}m+c.$$

Comments

Aber wie mache ich dann kommt weiter? habe das noch nicht ganz durchgeklickt..

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Wie wird's wohl schon weitergehen? Nachdem die korrekte Modellgleichung (3) jetzt dasteht, will sie noch geloest werden. Und die Konstanten wollen bestimmt werden.