Taylorreihe bestimmen (wie funktioniert die ableitung etc)?

Question

Folgende aufgabe: Es soll die Taylorreihe von f mit f(x) = (1+x)^α

α∈IR

(allgemeine binomische Reihe) für den Entwicklungspunkt x0=0 und den Konvergenzbereich bestimmen.

(zusatz info:

α=-1 (geometri. Reihe)

α=-2 (Ableitung der geometri. Reihe mal -1

α=0,5   ...

α=-0,5  ...      )

-> ich denke dass man zuerst die FUnktion 3-4mal ableitet. Dann den x0=0 einsetzt usw.

Doch schon bei der ABleitung habe ich probleme mit dem α...?

wäre die erste Ableitung z.B.  α(1+x)^{α-1}  ?

Für den Konvergenbereich  denke ich muss ich den Konvergenzradius bestimmen, oder?

Da würde ich die Reihe dann in diese Form mit Betrag und a+1... einsetzen?

Leider komme ich mit der Ableitung und dieser zusätzlichen INfo nicht klar?

Ich bin dankbar für Hilfe!

Answer 1

Hallo

 deine Ableitung ist richtig, also einfach so weiter ableiten. und dann f^{n}(0) einsetzen.

die Angaben für spezielle α kannst du zur Kontrolle benutzen.

deinen Satz:"Da würde ich die Reihe dann in diese Form mit Betrag und a+1... einsetzen?" kann ich nicht verstehen, Beträge kommen nicht vor, a+1 auch nicht auch nicht α+1

einfach die Ableitungen bei x=0 in die allgemeine Form der Taylorreihe einsetzen.

Reihe für α=-0,5 ist Ableitung der Reihe für α=0,5 bis auf den Faktor 0,5.

Gruß lul