n-te Ableitung und Taylorreihe bestimmen

Question

Gegeben sei die Funktion
\( f(x)=-\ln \left(1-\frac{x}{2}\right) \)

(a) Leiten Sie für \( n \in \mathbb{N} \) eine Formel für die \( n \)-te Ableitung von \( f \) her, und beweisen Sie diese durch vollständige Induktion.

(b) Entwickeln Sie die Funktion \( f(x)=-\ln \left(1-\frac{x}{2}\right) \) um den Entwicklungspunkt \( x_{0}=0 \) in eine Taylorreihe. Für welche \( x \in \mathbb{R} \) konvergiert die Taylorreihe von \( f ? \)

Answer 1

f(x) = - LN(1 - x/2)

f'(x) = 1/(2 - x)

f''(x) = 1/(x - 2)^2

f'''(x) = 2/(2 - x)^3

f''''(x) = 6/(x - 2)^4

f'''''(x) = 24/(2 - x)^5

Nun solltest du eine Idee haben wie die n. Ableitung aussehen könnte und solltest das auch beweisen können.