Du entwickelst die Taylorreihe natürlich wie üblich mit den Ableitungen der Funktionen.
1.) f(x) = x/sin(x)
f'(x) = (sin(x) - xcos(x))/sin²(x)
f''(x) = (cos(x) - cos(x) + x*sin(x))/sin²(x) - 2cos(x)*(sin(x)-x cos(x))/sin³(x)
= x*sin²(x)/sin³(x) - 2cos(x)sin(x)/sin³(x) + 2x cos²(x)/sin³(x)
= x/sin(x) - 2cos(x)/sin²(x) + 2x cos²(x)/sin³(x)
Um nun die entsprechenden Koeffizienten zu bestimmen, muss jeweils der Grenzwert für x->0 bestimmt werden. Das schafft man mit dem Satz von l'Hospital:
$$ \lim _ { x \rightarrow 0 } f ( x ) = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { x } { \sin x } = 1 $$
$$ \lim _ { x \rightarrow 0 } f ^ { \prime } ( x ) = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { \sin x - x \cos x } { \sin ^ { 2 } x } = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { \cos x - \cos x + x \sin x } { 2 \sin x } = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { x } { 2 } = 0 $$
$$ \lim _ { x \rightarrow 0 } f ^ { \prime \prime } ( x ) = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { x \sin ^ { 2 } x - 2 \cos x \sin x + 2 x \cos ^ { 2 } x } { \sin ^ { 3 } x } $$
$$ = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { \sin ^ { 2 } x + 2 x \sin x \cos x + 2 \sin ^ { 2 } x - 2 \cos ^ { 2 } x + 2 \cos ^ { 2 } x - 4 x \cos x \sin x } { 3 \sin ^ { 2 } x \cos x } $$
$$ = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { 3 \sin x - 2 x \cos x } { 3 \sin x \cos x } $$
$$ = \lim _ { x \rightarrow 0 } \left( \frac { 1 } { \cos x } - \frac { 2 x } { 3 \sin x } \right) = 1 - \frac { 2 } { 3 } = \frac { 1 } { 3 } $$
Damit erhält man die Taylorentwicklung:
f(x) = f(0) + f'(0)*x + f''(0)/2! * x^2 + O(x^3)
(Das o(x^3) bedeutet, dass höhere Korrekturterme der Ordnung x^3 vernachlässigt werden.)
f(x) = 1 + x^2/6 + O(x^3)
2.) f(x) = sin(x)/arcsin(x)
f'(x) = cos(x)/arcsin(x) - sin(x)/(√(1-x^2) arcsin²(x))
Hierbei habe ich (arcsin(x))' = 1/√(1-x^2) verwendet.
Für die Grenzwerte gegen 0 muss wieder der Satz von l'Hospital verwendet werden.
$$ \lim _ { x \rightarrow 0 } f ( x ) = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { \sin x } { \arcsin x } = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { \cos x } { \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } } = \lim _ { x \rightarrow 0 } \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } \cos x = 1 $$
$$ \lim _ { x \rightarrow 0 } f ^ { \prime } ( x ) = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { \cos x \arcsin x - \frac { \sin x } { \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } } } { \arcsin ^ { 2 } x } $$
$$ = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { - \sin x \arcsin x + \frac { \cos x } { \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } } - \frac { \cos x } { \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } } + \frac { 1 } { 2 } \frac { x \sin x } { \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } ^ { 3 } } } { \frac { 2 \arcsin x } { \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } } } $$
$$ = \lim _ { x \rightarrow 0 } \left( \frac { 1 } { 2 } \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } \sin x + \frac { 1 } { 4 \left( 1 - x ^ { 2 } \right) } \frac { x \sin x } { \arcsin x } \right) = 0 $$
Beim zweiten Grenzwert nutze ich im letzten Schritt insbesondere noch aus, dass wir den Grenzwert von sin(x)/arcsin(x) bereits kennen.
Die Berechnung der zweiten Ableitung ist sehr zeitaufwändig. Ich glaube auch nicht, dass es eine leichte Variante gibt. Es gilt auf jeden Fall
limx→0 f''(x) = -2/3
Damit lautet das Taylorpolynom zweiten Grades:
T2(x) = 1 - x^2/3
Es ist bei diesen Funktionen nicht möglich, elementare Ausdrücke für die n-ten Ableitungen anzugeben. So ist es übrigens bei den meisten Funktionen, die wenigstens lassen sich explizit ausrechnen.
