Taylorreihe bzw. Potenzreihe Entwickeln mit f(x)=e^sinx bis n=4

Question

Aufgabe:

$$\text{Geben ist die Funktion: } e^{sin(x)} \text{ und ist an der Stelle Xo = 0 in eine Potenzreihe zu entwickeln }$$

Geben Sie die Glieder bis einschließlich n=4 an.

Frage:

Heißt das, dass ich eine Taylorreihe entwickeln muss, die bis n=4 geht?

Also im anderen Sinne, muss ich die oben angegebene Funktion tatsächlich 4 mal ableiten?

Answer 1

Beide Fragen :  Ja !

Das ist aber nicht so wild:

f ' (x) = cos(x)*e^(sin(x))

f ' ' (x) = (cos^2(x)-sin(x))*e^(sin(x))

f ' ' ' (x) = (-sin^2(x)*cos(x) + 3sin(x)cos(x))*e^(sin(x))

f^(4) (x) = (-sin^2(x)cos^2(x) -5sin(x)cos^2(x)-3cos^2(x) +sin^3(x) +3sin^2(x))*e^x

und weil du es ja nur bei x=0 brauchst , ist es einfach.

Kontrolle bei

https://www.wolframalpha.com/widgets/view.jsp?id=b05254d52171feaa742bf23df5467667