Hi Leute,
ich habe ein Problem bei dieser Aufgabe und würde gerne wissen, wie man die k.te Ableitung ausrechnet. Wie kommt man auf die 1 für die k.te Ableitung? Den Rest habe ich anosnten gut verstanden. Danke im Voraus.
Aufgabe:
Für die folgenden Funktionen bestimme man jeweils die Taylorentwicklungen im Entwicklungspunkt x0 = 0:
g:R->R mit g(x)=sinh(x)
Lösung für sinh(x):
T(x)= \( \frac{x^{1}}{1!} \) + \( \frac{x^{3}}{3!} \) + \( \frac{x^{5}}{5!} \) + \( \frac{x^{7}}{7!} \) ...etc
Deswegen da ungerade 2k+1.
\( \sum\limits_{k=0}^{\infty}{\frac{f^{(k)}(x_{0})}{k!}} \) \( (x - x_{0})^{k} \)
\( \sum\limits_{k=0}^{\infty}{\frac{1}{k!}} \) \( (x)^{k} \)
Wie kommt man hier den auf die 1 bzw. wie berechnet man die k-te Ableitung? Der Rest ist mir klar, danach ein das k durch 2k+1 ersetzen.
Text erkannt:
\( T(x)=\frac{x^{1}}{1 !}+\frac{x^{3}}{3 !}+\frac{x^{5}}{5 !}+\frac{x^{7}}{7 !} \ldots u s w \)
Deswegen also:
\( \begin{array}{l} 2 k+1 \\ \sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{g^{(k)}(0)}{k !} \cdot(x-0)^{k} \\ =\sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k !} \cdot x^{k} \end{array} \)