Wie kommt man auf die 1 für die k.te Ableitung?

Question

Hi Leute,

ich habe ein Problem bei dieser Aufgabe und würde gerne wissen, wie man die k.te Ableitung ausrechnet. Wie kommt man auf die 1 für die k.te Ableitung? Den Rest habe ich anosnten gut verstanden. Danke im Voraus.

Aufgabe:

Für die folgenden Funktionen bestimme man jeweils die Taylorentwicklungen im Entwicklungspunkt x0 = 0:

g:R->R mit g(x)=sinh(x)

Lösung für sinh(x):

T(x)= $\frac{x^{1}}{1!}$ + $\frac{x^{3}}{3!}$  + $\frac{x^{5}}{5!}$  + $\frac{x^{7}}{7!}$ ...etc

Deswegen da ungerade 2k+1.

$\sum\limits_{k=0}^{\infty}{\frac{f^{(k)}(x_{0})}{k!}}$ $(x - x_{0})^{k}$

$\sum\limits_{k=0}^{\infty}{\frac{1}{k!}}$ $(x)^{k}$

Wie kommt man hier den auf die 1 bzw. wie berechnet man die k-te Ableitung? Der Rest ist mir klar, danach ein das k durch 2k+1 ersetzen.

Text erkannt:

$T(x)=\frac{x^{1}}{1 !}+\frac{x^{3}}{3 !}+\frac{x^{5}}{5 !}+\frac{x^{7}}{7 !} \ldots u s w$
Deswegen also:
$\begin{array}{l} 2 k+1 \\ \sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{g^{(k)}(0)}{k !} \cdot(x-0)^{k} \\ =\sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k !} \cdot x^{k} \end{array}$

Answer 1

Die Ableitungen von sinh(x) sind immer abwechselnd

cosh(x) und sinh(x).

Bei den ungeraden ist es cosh(x) und cosh(0)=1

und wegen sinh(0)=0 fallen die geraden weg.

Comments

Jetzt hab ich das verstanden!!! Ergibt natürlich auch Sinn, manchmal sieht man den Wald vor lauter Bäumen nicht. Vielen Dank.

Answer 2

Eigentlich brauchts Du gar nicht zu differenzieren. Du weisst, hoffentlich, das die Reihenentwicklung der e-Funktion so aussieht.

$$e^x = \sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!}$$ Der Sinushyperbolicus ist so definiert

$$\sinh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$$ Wenn man die Reihenentwicklung der e-Funktion einsetzt fallen alle geraden Potenzen weg und die Ungeraden Potenz sind alle doppelt. Wegen der Division durch 2 ergibt sich die gewünschte Reihenentwicklung.

$$\sinh(x) = \frac{\sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!} - \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k x^k}{k!}}{2}$$ D.h.

$$\sinh(x) = \frac{\sum_{k=\text{ungerade}}^\infty \frac{x^k}{k!} - \sum_{k=\text{ungerade}}^\infty \frac{(-1)^k x^k}{k!} + \sum_{k=\text{gerade}}^\infty \frac{x^k}{k!} - \sum_{k=\text{gerade}}^\infty \frac{(-1)^k x^k}{k!} }{2} = \sum_{k=\text{ungerade}}^\infty \frac{x^k}{k!}$$

Comments

Danke für den Tipp. Eigentlich habe ich die Frage für eine bekannte gestellt, da sie mich gefragt hat, ob ich ihr weiterhelfen kann. Ich werde das aber weiterleiten, damit sollte es in der Prüfung einfacher für sie werden.