Wie muss man die Gleichung wählen (a E R), dass die Gleichung x^2=3+(ax-3)^2 nur eine Lösung hat?

Question

Aufgabe:

Wie muss man die Gleichung wählen (a E R), dass die Gleichung x^2=3+(ax-3)^2 nur eine Lösung hat?

(habe mehrere Stunden heute verschwendet wäre euch dankbar)

Problem/Ansatz:

Die finale Antwort lautet

(brauche aber Rechenweg):

x^2=3+(ax-3)^2

(a^2-1)×x^2-6ax+12=0

Die Gleichung hat genau eine Lösung, wenn a=1 v a=-1 v a=2 v a=-2

Lösung lautet für a=1 x=2

                    für a=-1 x=2

                    für a= 2 x=2

                   für a=-2 x=-2

Answer 1

x^2 = 3 + ( ax-3 )^2
x^2 = 3 + a^2 * x^2 - 6ax + 9

x^2 - a^2 * x^2 + 6ax = 12
x^2 * ( 1 - a^2 ) + 6x = 12  | : ( 1 - a^2 )
x^2 +6ax / ( 1 -a^2 ) = 12 / ( 1 -a^2 )
x^2 + x * 6a / ( 1 - a^2 ) = 12 / ( 1 - a^2 )  | quadratische Ergänzung
x^2 + x * 6a / ( 1 - a^2 ) + [ a / ( 1 - a^2 )] ^2 =  [ 12 / ( 1 - a^2 ) ] + [ a / ( 1 - a^2 ) ] ^2   
( x + [ a / ( 1 - a^2 ) ] = [ 12 / ( 1 - a^2 ) ] + [ a / ( 1 - a^2 ) ] ^2   
war noch nichts

Comments

In der vorletzten Zeile steckt der Fehler.

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war noch nichts

Stimmt. Du kannst nicht uneingeschränkt durch (1-a²) teilen.

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In der vorletzten Zeile steckt der Fehler.

Da ist schon einer weiter oben.

Answer 2

\(x^2=3+(a*x-3)^2\)

\(x^2-a^2*x^2+6*a*x-12=0\)

\(x^2*(1-a^2)+6*a*x=12\)

\(x^2+\frac{6*a*x}{(1-a^2)}=\frac{12}{1-a^2}\)

\((x+\frac{3*a}{(1-a^2)})^2=\frac{12}{1-a^2}+\frac{(3a)^2}{(1-a^2)^2}|\sqrt{~~}\)

\(x+\frac{3*a}{(1-a^2)}=\sqrt{\frac{12}{1-a^2}+\frac{(3a)^2}{(1-a^2)^2}}\)

Eine Lösung gibt es bei \(\sqrt{\frac{12}{1-a^2}+\frac{(3a)^2}{(1-a^2)^2}}=0\)

\({\frac{12}{1-a^2}+\frac{(3a)^2}{(1-a^2)^2}}=0\)

1.) \(a=-2\)

\(x=\frac{6}{1-4}=-2\)

2.) \(a=2\)
\(x=-\frac{6}{1-4}=\frac{6}{4-1}=2\)

1.) \(f(x)=x^2-3-(-2*x-3)^2\)

2.) \(p(x)=x^2-3-(2*x-3)^2\) 

Comments

Müsste man den Fall \(a^2=1\) nicht separat betrachten?

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Ich rätsle noch daran, wie ich auf a=1   ν   a=-1 kommen kann.

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Siehe meinen Kommentar für georgborn.

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\(f(x)=x^2-3-(a*x-3)^2=x^2-3-a^2*x^2+6*a*x-9=   =x^2-a^2*x^2+6*a*x-12=x^2*(1-a^2)+6ax-12\)

\(f´(x)=2x*(1-a^2)+6a\)

\(x*(1-a^2)+3a=0\)

\(x*(a^2-1)=3a\)

\(x=\frac{3a}{a^2-1}\) wobei a^2-1≠0

\(f(\frac{3a}{a^2-1})=(\frac{3a}{a^2-1})^2*(1-a^2)+6a*\frac{3a}{a^2-1}-12\)

\(\frac{3a^2}{a^2-1}-4=0\)

\(a=-2\)  ∨ \(a=2\)

Im oben ausgeschlossen: \(a^2-1=0\)  gibt es    \(a=1\)∨ \(a=-1\) als Lösungen.

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Was du da machst, hat argumentativ fast nichts mit der eigentlichen Aufgabenstellung zu tun.

Warum leitest du ab?

Warum setzt du die Ableitung gleich 0?

Warum sind die auf diese Weise gewonnenen Extremstellen von f auch Nullstellen von f?

Was haben die Nullstellen von f mit "es gibt nur eine Lösung" zu tun?

Wieso bezeichnest du a=-1 und a=1 als "Lösungen"?

Damit stellst du lediglich fest, dass das die beiden Werten von a sind, mit denen man nicht so vorgehen kann wie mit den anderen Werten von a.

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Warum leitest du ab?

Warum setzt du die Ableitung gleich 0?

Ich gebe ein Zahlenbeispiel:

Es sei \(f(x)=(x-2)^2\)

\(f´(x)=2*(x-2)\)

\(2*(x-2)=0\)     \(x=2\)     \(f(2)=(2-2)^2=0\) 

\(f(x)=(x-2)^2\)    \((x-2)^2=0\)    \(x=2\)

Schreib doch bitte einfach die perfekte Aufgabenlösung als Antwort!

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Gegenvorschlag (wenn du die Lücken deiner Antwort nicht verbessern willst oder kannst): Antworte doch einfach nur zu solchen Themen, von denen du Ahnung hast.

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Schreib doch bitte einfach die perfekte Aufgabenlösung als Antwort!

Darum habe ich das geschrieben!!

Answer 3

Auf besonderen Wunsch einer nicht näher bezeichneten Person:

(a²-1)x²-6ax+12=0

ist für fast alle a eine quadratische Gleichung, jedoch nicht im Sonderfall a=±1.

In diesem Sonderfall vereinfacht sich die gegebene Gleichung zu

0x²-6ax+12=0 (also zu -6ax-12=0).

Das ist eine lineare Gleichung, die als solche höchstens eine Lösung haben kann. (Für a=1 ergibt sich x=-2. Für a=-1 ergibt sich x=2 als jeweils einzige Lösung.)

Falls a nicht ±1 ist kann man durch (a²-1) teilen und die entstehende Gleichung

\( x^{2}+\frac{6 * a * x}{\left(1-a^{2}\right)}-\frac{12}{1-a^{2}} =0\) mit pq-Formel oder quadratischer Ergänzung lösen.

Die "beiden" Lösungen fallen zu einer einzigen Doppellösung zusammen, wenn die Diskriminante 0 ist bzw. wenn a=±2 gilt.