Körper: Zeigen, dass ax^2 + bx + c = 0 genau denn eine Lösung x€K besitzt, wenn es ein d€K gibt mit d^2 = b^2 -4ac.

Question

Das hört sich so simple an, ich hab aber keine Idee wie man das zeigen sollte

Ich wäre sehr dankbar für jede Hilfe !

Comments

Man kommt ja mit quadratischer Ergänzung zur Formel, die b^2 - 4ac als "Diskriminante" hat.

Versuche vielleicht eine quadratische Ergänzung, die den Körperaxiomen genügt. Da sollte sich das Verlangte eigentlich ergeben. 

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vielen Dank probier ich gleich aus

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Also bei mir klappt das nicht bzw. ich weiß nicht wie ich auf b² - 4ac als "Diskriminante" kommen soll
vielleicht könnte mir noch mal jemand helfen

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Hast du geschaut, wie die das hier machen: https://de.wikipedia.org/wiki/Quadratische_Ergänzung

Welche Schritte, kannst du in K nicht machen? 

Ein vorgerechnetes Beispiel mit Zahlen aus R hier: https://www.matheretter.de/wiki/quadratische-funktionen#erganzung 

unter dem Stichwort quadratische Ergänzung. Bzw. vorbereitend Video F06_03 ansehen. 

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Ich habe die Frage schin mal gestellt und habe einen Tipp bekommen:
Man kommt ja mit quadratischer Ergänzung zur Formel, die b^2 - 4ac als "Diskriminante" hat.

Kann mir jemand weiter helfen - vielen Dank !

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ok, danke - dann schau ich mir das video mal

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bei mir sieht das jetzt so aus - stimmt das bzw. wie mache ich jetzt weiter ?

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Müsste die Division durch a, mit als Multiplikation mit a^{-1} geschrieben werden? (Geht da a≠0) 

Multipliziere nun noch von links mit a^{-1}.

Danach kannst du mit 4 mult. und die Klammer rechts aussen links von's gleich bringen.

(Du müsstest ja x aus der Gleichung rausschälen = zum Schluss auf einer Seite allein haben). 

Im Moment des "Wurzelziehens" kommst du dann auf die Fallunterscheidung zur Zahl der Lösungen in K. 

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Tut mir leid, ich weiß nicht genau wie du das meinst
also wie soll ich das x aus der Gleichung rausschälen ?

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jetzt sieht es bei mir so aus, wie genau muss ich eine fallunterscheidung durchführen ?

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Vom Duplikat:

Titel: Existenz der Lösung eine quadratischen Gleichung ax2 + b2 + c = 0 in einem Körper.

Stichworte: quadratische,gleichung,lösen,körper

K sei ein Körper, a ∈ K^× (Einheitengruppe) und b, c ∈ K. Wir setzen 2 = 1 + 1 ∈ K und 4 = 2 + 2 ∈ K. Folgende quadratische Gleichung Q wird betrachtet:

ax² + b² + c = 0.

Die Charakteristik von K, also char(K) ≠2, d.h. in K gilt 2 ≠ 0. Zeigen sie, dass die Gleichung Q genau dann eine Lösung x ∈ K besitzt, wenn es ein d ∈ K gibt mit:

d² = b² - 4ac

Leider darf ich nicht einfach eine Lösungformel für die quadratische Gleichung benutzen, ich soll zeigen, dass diese Formel tatsächlich eine Lösung von Q liefert.

Ich hoffe mir kann jemand helfen! Bin gerade noch ziemlich ratlos.

Danke euch im Voraus~ Lg Laura

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Oh, mir ist gerade aufgefallen, dass jemand die gleiche Frage schonmal früher gestellt hat. Die Antwort hilft mir schon weiter... (:

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EDIT: Kannst du noch den Link auf die vorhandene Frage angeben? Es braucht ja dann wohl nicht 2 Antworten. Danke 

Du meinst nicht https://www.mathelounge.de/292130/korper-zeigen-dass-genau-denn-eine-losung-besitzt-wenn-gibt  . Oder? 

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Genau die Antwort meine ich! (:

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Ich erlaube mir gerade mal folgenden Link als "Antwort" zu senden, sodass die Frage als beantwortet markiert werden kann.

https://www.mathelounge.de/292130/korper-zeigen-dass-genau-denn-eine-losung-besitzt-wenn-gibt

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Ja diese Antwort meine ich. Also markier ich das als Antwort (:

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Ist vielleicht \(\large\color{#36c}{ax^2+bx+c=0}\) gemeint?

Answer 1

ax^2 + bx + c = 0

ax^2 + bx = -c

4a^2x^2 + 4abx = -4ac

4a^2x^2 + 4abx + b^2 = b^2 - 4ac

(2ax + b)^2 = b^2 - 4ac

2ax + b = ± √(b^2 - 4ac)

2ax = - b ± √(b^2 - 4ac)

x = (- b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

Die Diskriminante d sei jetzt d = √(b^2 - 4ac)

Und wenn d ∈ K ist dann gibt es eine Lösung ansonsten nicht.