Quadratische Gleichungen mit pq-Formel lösen. Bestimme a ∈ R so, dass die Gleichung genau eine Lösung besitzt.

Question

Aufgabe:

Bestimme a ∈ R so, dass die Gleichung genau eine Lösung besitzt

Problem/Ansatz:

a) 1/2 x^2 + 7 x  =a


b) 8x^2+ax+18=0

c)4x^2 +20ax+25a^2=0

Answer 1

a) 1/2 x² + 7 x  =a

x²+14x-2a=0

x_1/2=-7±√(49+2a)

Damit dies genau eine Lösung ist, muss 49+2a=0 sei. D.h. a=-24,5.

Comments

b) 8x²+ax+18=0

x²+a/8·x+9/4=0

x_1/2=-a/16±√(a²/256-9/4)

Damit dies genau eine Lösung ist, muss a²/256-9/4=0 sein

a²/256=9/4

a=±24

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vielen danke

könntest du mir sagen , warum man mit -7± nicht ausrechnen ? warum braucht man das nicht ?

x1/2=-7±√(49+2a)

Damit dies genau eine Lösung ist, muss 49+2a=0 sei. D.h. a=-24,5.

danke im Voraus !

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Die Frage: Wann hat eine quadratische Gleichung genau eine Lösung? wird ausschließlich mit dem Term unter der Wurzel entschieden. Wennnter der Wurzel 0 herauskommt, dann steht -p/2±√0 =-p/2 noch da. Und das ist genau eine Lösung.

Answer 2

1/2 x^2 + 7 x  = a  | * 2
x^2 + 14 x  = 2a
Quadratische Ergänzung oder pq-Formel
x^2 + 14x + 7^2 = 2a + 49
( x + 7 ) ^2 = ...
x + 7 = ±√ (2a + 49)
x = -7 ±√ (2a + 49)
Nur eine Lösung gibt es wenn
2a + 49 = 0
2a = - 49
a = -49 / 2

Comments

vielen danke für die Antwort

würde es ein andere Lösungen ergibt , wenn man die gleichung  anstatt mal 2   , durch 1/2 geteilt würde ?

1/2 x2 + 7 x  = a  | * 2

1/2 x2 + 7 x  = a  |  : 1/2
danke im Voraus

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Das ist das Selbe!  mal 2 = geteilt durch 1/2

x*2 = x/(1/2) = x*2/1 = 2x  

Answer 3

a) 1/2 x^2 + 7 x  =a

1/2 x^2+7x-a =0| *2

x^2+14x-2a =0

p= 14, q= .-2a

Es muss gelten:  Term unter der Wurzel =0

7^2+2a =0

2a= -49

a = -24,5

b) und c) gehen analog.

Comments

b) und c) gehen analog.
(* Scherzmodus an *)
Ist " analog " nicht ein Anachronismus ?
" Digital " gehört doch die Zukunft.
Digitales Betongold gepaart mit Künstlicher
Intelligenz. Das ist es.
(* Scherzmodus aus *)

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vielen danke für die Antwort !

Answer 4

Bestimme a ∈ R so, dass die Gleichung genau eine Lösung besitzt

ist eine Fragestellung, bei der die quadratische Gleichung gar nicht gelöst werden muss. Daher ist die pq-Formel nicht zwingend und eher ein Umweg.

Überlege dir, was du an der pq-Formel brauchen kannst, wenn du diese Fragestellung bearbeiten möchtest.

Answer 5

a)

Es existiert dann nur eine Lösung, wenn der Extremwert auf der x-Achse liegt.

\(f(x)=\frac{1}{2} x^2 + 7 x -a\)

\(f'(x)=x + 7\)

\(x + 7=0\)

\(x=-7\)     \(f(-7)=\frac{49}{2} -49 -a\)

\(\frac{49}{2} -49 -a=0\)

\(a=- \frac{49}{2} \)

\(f(x)=\frac{1}{2} x^2 + 7 x + \frac{49}{2}\)