Textaufgabe Minimum berechnen

Question

Eine Flüssigkeit von 2l Volumen soll als zylindrische Dose in den Handel kommen. Das gewählte Verpackungsmaterial ist teuer, weswegen die Dosenform mit minimaler Oberfläche gesucht wird.

Wie kann man das berechnen und welche Formel braucht man?

Comments

Das ist eine Extremwertaufgabe. Du brauchst eine Hauptbedingung und eine Nebenbedingung und daraus bastelst du dir eine Zielfunktion. Diese muss abgeleitet und Null gesetzt werden. Dann hast du das Minimum gefunden. Habt ihr im Unterricht dazu Beispielaufgaben gerechnet?

Answer 1

Ein Zylinder mit gegebenem Volumen soll eine minimale Oberfläche haben.
Nebenbedingung
V = pi·r^2·h h = V/(pi·r^2)
Hauptbedingung
O = 2·pi·r·h + 2·pi·r^2 O = 2·pi·r·(V/(pi·r^2)) + 2·pi·r^2 O = 2·pi·r^2 + 2·V/r
Extremstellen O' = 0
O' = 4·pi·r - 2·V/r^2 = 0 4·pi·r^3 - 2·V = 0 4·pi·r^3 = 2·V r = (V/(2·pi))^{1/3}
h = V/(pi·r^2) = V/(pi·((V/(2·pi))^{1/3})^2) = (4·V/pi)^{1/3} = 2·r